1984-全国文-16 解-正三棱柱的截面与体积

本题导读

本题考查正三棱柱截面问题与三棱锥体积。核心在于三垂线定理确定二面角平面角。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 如图，经过正三棱柱底面一边 $AB$，作与底面成 $30^{\circ }$ 角的平面，已知截面三角形 $ABD$ 的面积为 $32{\text{ cm}}^2$，求截得的三棱锥 $D-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $CE\perp AB$，由三垂线定理 $DE\perp AB$，$\angle DEC=30^{\circ }$ 为二面角平面角；由面积定 $a$ 再算体积。

✅【答案】

Success

$\frac{64\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

在底面 $△ABC$ 中作 $CE\perp AB$，连接 $DE$。由于三棱柱是正三棱柱，$△ABC$ 为正三角形，且 $DC\perp$ 底面；由三垂线定理，$DE\perp AB$。因此截面与底面的二面角的平面角为 $\angle DEC=30^{\circ }$。 设 $AB=a$。由正三角形性质 $CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。在直角 $△DCE$ 中，$DE=\frac{CE}{\cos 30^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=a$，且 $DC=DE\sin 30^{\circ }=\frac{a}{2}$。于是 $32=S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{a^2}{2}$，得 $a=8\text{ cm}$。 所以底面面积 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$，三棱锥的高 $DC=4\text{ cm}$。故 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot DC=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 4=\frac{64\sqrt{3}}{3}{\text{ cm}}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱的截面与体积

核心方法：三垂线定理定二面角平面角

避坑指南：$\angle DEC=30^{\circ }$，$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$DE=a$，由面积定 $a=8$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱柱中的截面问题

结论推广：截面与底面成角及锥体体积

方法推广：三垂线定理与体积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积
• 1986-广东文-12 单-正三棱锥侧面与底面的二面角