1986-广东文-12 单-正三棱锥侧面与底面的二面角

本题导读

本题考查正三棱锥侧面与底面所成二面角的余弦。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 侧面为等边三角形的正三棱锥其侧面与底面所成的二面角的余弦的值是 ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　E. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

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底面内切圆半径与侧面斜高的比。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设底面边长 $a$，则侧面（等边三角形）斜高 $h^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，底面正三角形内切圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。二面角的平面角在含高的截面中，$\cos \theta =\frac{r}{h^{\prime }}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥侧面与底面的二面角

核心方法：侧面高 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，底面内切圆半径 $\frac{\sqrt{3}}{6}a$。

避坑指南：$\cos \theta =\frac{r}{h^{\prime }}=\frac{1}{3}$，选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 3 题同题。

结论推广：正三棱锥侧面与底面所成角满足 $\cos \theta =\frac{r}{h^{\prime }}$（内切圆半径比侧面高）。

方法推广：也可用射影面积法 $\cos \theta =\frac{S_{底}}{3S_{侧}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-03 单-正三棱锥侧面与底面的二面角
• 1987-广东理-16 单-三棱锥的二面角