1983-全国文-11 解-三棱锥的体积

本题导读

本题考查射影与三棱锥的体积。核心在于三垂线定理确定底面的高。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 如图，已知一块直角三角形板 $ABC$ 的 $BC$ 边在平面 $\alpha$ 内，$\angle ABC=60^{\circ }$，$\angle ACB=30^{\circ }$，$BC=24\text{ cm}$，$A$ 点在平面 $\alpha$ 内的射影为 $N$，$AN=9\text{ cm}$.求以 $A$ 为顶点的三棱锥 $A\text{-}NBC$ 的体积（结果可以保留根号）.

🔍【思路分析】

破题导航

先求 $A$ 到 $BC$ 的距离 $AD$，由三垂线定理 $ND\perp BC$，$ND=\sqrt{A{D}^2-A{N}^2}$ 定底面积。

✅【答案】

Success

$108\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

因 $\angle A=90^{\circ }$（$\angle B=60^{\circ }$、$\angle C=30^{\circ }$），$BC=24$ 为斜边，故 $AB=BC\sin 30^{\circ }=12$，$AC=BC\sin 60^{\circ }=12\sqrt{3}$。作 $AD\perp BC$ 于 $D$，则 $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{12\cdot 12\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}$。 因 $AN\perp$ 平面 $\alpha$，由三垂线定理，$AD\perp BC$ 得 $ND\perp BC$。在直角 $△AND$ 中，$ND=\sqrt{A{D}^2-A{N}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2-9^2}=\sqrt{108-81}=3\sqrt{3}$。 故底面 $△NBC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot ND=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。三棱锥 $A\text{-}NBC$ 的高为 $AN=9$，体积 $V=\frac{1}{3}S\cdot AN=\frac{1}{3}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 9=108\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的体积

核心方法：三垂线定理定底面积

避坑指南：三垂线定理 $ND\perp BC$，$ND=\sqrt{A{D}^2-A{N}^2}$，体积 $=\frac{1}{3}S\cdot h$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥的体积

结论推广：射影与三垂线定理确定底面

方法推广：三垂线定理求高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积
• 1986-广东文-12 单-正三棱锥侧面与底面的二面角