本题导读
本题考查正三棱锥的结构特征及其等价性质。解题关键在于理解正三棱锥的本质属性（底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心），并能熟练转换其多种等价的几何判定条件。
📌【题干】
Question
（2000年上海卷(理)） 命题 ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题 的等价命题 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析命题 的核心：命题 给出的其实就是正三棱锥的标准定义。
- 寻找等价条件：在底面已经是正三角形的前提下，寻找能推出“顶点在底面的射影为底面中心”的充要几何条件。
- 常见的等价性质包括：
- 三条侧棱两两相等（）；
- 三个侧面与底面所成的二面角相等；
- 顶点到各个侧面的距离相等；
- 各个侧面是全等的等腰三角形。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
设三棱锥为 ，底面 为正三角形，其中心为 。
根据命题 ，当 时，该三棱锥为正三棱锥。 在 、、 中，公共边为 。
若满足“三个侧棱相等”即 ： 由勾股定理可得 。由于底面 是正三角形，其外心、内心、重心重合，满足 的点 恰好是底面的中心。 反之，若 为中心，则 ，易得 。 因此，“三个侧棱相等”与“顶点在底面的射影为底面中心”完全等价。
若满足“三个侧面与底面所成的二面角相等”： 过 作侧面的垂线，同理可证明 到底面三边的距离相等，即 为 的内心（中心）。
本题属于开放式填空，只需填入一种最基础且符合逻辑的等价描述即可，最直观且通用的答案为“三个侧棱相等”或“三个侧面与底面所成的角相等”。
答案： 三条侧棱相等 （或：三个侧面与底面所成的二面角相等 / 各个侧面是全等的等腰三角形）
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正三棱锥的概念与其侧棱、侧面、二面角等元素的联控。
- 核心方法：等价转化法（利用直角三角形全等进行边角转换）。
- 避坑指南：
- 必须注意前提“底面为正三角形”。如果是任意三角形，侧棱相等只能推出投影是“外心”而非“中心”。
- 填写时应保证语句通顺，代入空缺处后能够构成一个完整的几何命题。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题为立体几何经典几何体性质的综合对比，用以加深学生对“正”多棱锥几何判定定理的严谨理解。
- 结论推广：对于任意正 棱锥，以下条件均两两等价：
- 顶点在底面的射影是底面正 边形的中心；
- 各侧棱相等；
- 各侧面与底面所成的二面角相等；
- 侧面均为全等的等腰三角形。
🔗【关联脉络】
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