1987-广东理-16 单-三棱锥的二面角

本题导读

本题考查三棱锥侧面与底面所成二面角。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 若正三棱锥的一个侧面的面积与底面的面积的比等于 $\frac{2}{3}$，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角是()

A. $\arccos \frac{3}{4}$　　　　　　　　　B. $\arcsin \frac{3}{4}$　　　　　　　　　C. $30^{\circ }$　　　　　　　　　D. $60^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

面积射影定理 $S_{\text{射影}}=S_{\text{原}}\cos \theta$，侧面射影为底面 $\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设二面角 $\theta$，一个侧面在底面的射影是底面面积的 $\frac{1}{3}$，故 $\cos \theta =\frac{\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}}{S_{\text{侧}}}=\frac{S_{\text{底}}}{3S_{\text{侧}}}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的二面角

核心方法：正三棱锥一个侧面在底面射影为底面的 $\frac{1}{3}$，面积射影定理 $S_{\text{射影}}=S_{\text{原}}\cos \theta$。

避坑指南：$\cos \theta =\frac{S_{\text{底}}/3}{S_{\text{侧}}}=\frac{S_{\text{底}}}{3S_{\text{侧}}}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥二面角。

结论推广：侧面与底面面积比 $=\frac{1}{\cos \theta }$。

方法推广：面积射影关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1989-上海-25 解-二面角与线面角
• 1988-全国文-15 单-二面角的正切