1977-内蒙古理-02 解-梯形与圆台面积

本题导读

本题考查梯形的平行线性质与圆台全面积。核心在于平行线成比例与圆台全面积公式。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） (1)已知梯形 $ABCD$，$AD\parallel BC$，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $E$，过 $E$ 作平行于底的直线交 $AB$ 于 $M$、交 $CD$ 于 $N$，求证 $ME=EN$；

(2)圆台上底直径为 $12$ cm、下底直径为 $24$ cm、高为 $8$ cm，求圆台的全面积（$\pi =3.14$，精确到 $0.1$ cm²）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)由平行线成比例证 $ME=EN$；(2)求母线后代入全面积公式。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)约 $1130.4$ cm²

✍【详细解析】

Abstract

(1)因 $AD\parallel MN\parallel BC$，所以 $\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}$、$\frac{ME}{BC}=\frac{AM}{AB}$、$\frac{EN}{BC}=\frac{DN}{DC}$，故 $\frac{ME}{BC}=\frac{EN}{BC}$，即 $ME=EN$。 (2)上底半径 $r_1=6$、下底半径 $r_2=12$、高 $h=8$，母线 $L=\sqrt{h^2+(r_2-r_1{)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。全面积 $S=\pi [r_1^2+r_2^2+(r_1+r_2)L]\approx 3.14\times [6^2+12^2+(6+12)\times 10]=3.14\times 360\approx 1130.4$ cm²。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：梯形与圆台面积

核心方法：相似与全面积

避坑指南：平行线比例证 $ME=EN$；圆台全面积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆台

结论推广：全面积 $1130.4$ cm²

方法推广：圆台全面积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明
• 1984-全国文-16 解-正三棱柱的截面与体积