1977-甘肃-06 解-圆台体积与锻压

本题导读

本题考查圆台体积与等体积锻压。核心在于由二视图识别圆台，用体积公式再等体积反解钢材长度。

📌【题干】

Question

（1977年甘肃卷） 右图的二视图表示什么形体？用直径为 40 毫米的圆柱形钢材锻压这样一个工件，需截取多长一段钢材？

🔍【思路分析】

破题导航

圆台上下底面半径 r₁=10、r₂=30，高 h=20tan45°=20；体积 V=(π/3)(r₁²+r₂²+r₁r₂)h；由 π·20²x=V 求 x。

✅【答案】

Success

圆台；需截取 $\frac{65}{3}\approx 21.7$ 毫米

✍【详细解析】

Abstract

这个视图表示一个圆台，上下底面半径分别为 $r_1=10$ 毫米、$r_2=30$ 毫米，高 $h=20\tan 45^{\circ }=20$ 毫米。圆台体积 $V=\frac{1}{3}(\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi r_1{r}_2)h=\frac{\pi }{3}(10^2+30^2+10\times 30)\times 20=\frac{26000\pi }{3}$（立方毫米）。设需截取 $x$ 毫米长、直径 40 毫米的圆柱形钢材，则 $\pi {\left(\frac{40}{2}\right)}^{2}x=\frac{26000\pi }{3}$，所以 $x=\frac{26000}{3\times 20^2}=\frac{65}{3}\approx 21.7$（毫米）。答：需截取约 21.7 毫米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆台体积与锻压

核心方法：圆台体积公式 + 等体积锻压

避坑指南：圆台体积 V=(π/3)(10²+30²+10×20)×20=26000π/3；由 π·20²x=V 得 x=65/3≈21.7 毫米。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆台体积与等体积锻压，考查立体几何计算。

结论推广：圆台体积 V=(1/3)h(S₁+S₂+√(S₁S₂))，锻压前后体积不变。

方法推广：由 π(40/2)²x=V 反解截取长度 x。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-02 解-梯形与圆台面积
• 1977-内蒙古文-02 解-梯形与圆台