1977-西藏-07 解-正四棱台计算

本题导读

本题考查正四棱台的面积与体积。核心在于侧面等腰梯形的高用勾股定理，体积用棱台公式。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 有一正四棱台，上底边长 40 厘米，下底边长 52 厘米，高 8 厘米.求：(1)下底面的面积；(2)侧面积；(3)容积.

🔍【思路分析】

破题导航

下底面积 52²；侧面梯形高 $\sqrt{{\left(\frac{52-40}{2}\right)}^2+8^2}=10$；棱台体积 $\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$。

✅【答案】

Success

(1)$2704$ cm²；(2)$1840$ cm²；(3)$17024$ cm³

✍【详细解析】

Abstract

(1)下底是边长 52 cm 的正方形，面积 $S_{\text{下底}}=52^2=2704$（cm²）。(2)侧面是四个全等的等腰梯形，上底 40、下底 52，梯形的高 $=\sqrt{{\left(\frac{52-40}{2}\right)}^2+8^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$（cm），故侧面积 $S_{\text{侧}}=4\times \frac{52+40}{2}\times 10=1840$（cm²）。(3)上底面积 $40^2=1600$，下底面积 $52^2=2704$，容积 $V=\frac{1}{3}\times 8\times (2704+1600+\sqrt{2704\times 1600})=\frac{8}{3}\times (4304+2080)=\frac{8}{3}\times 6384=17024$（cm³）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱台计算

核心方法：正四棱台下底正方形面积、侧面积四个等腰梯形、棱台体积公式

避坑指南：梯形高=√((52-40)/2)²+8²=10；V=(1/3)×8×(52²+40²+√(52²×40²))=17024。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正四棱台的面积与体积计算，是立体几何基础计算题。

结论推广：棱台体积 V=(1/3)h(S₁+S₂+√(S₁S₂)) 可推广到一般棱台。

方法推广：侧面的等腰梯形高要用勾股定理由 (下底-上底)/2 与棱台高求出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-广西理-08 解-正四棱锥体积
• 1977-内蒙古理-02 解-梯形与圆台面积