1977-广西理-08 解-正四棱锥体积

本题导读

本题考查正四棱锥体积。核心在于高足在对角线交点、$VA=2VO$ 与勾股联立解出高。

📌【题干】

Question

（1977年广西卷(理)） 已知正四棱锥底面边长为6厘米，侧棱是高的2倍.求这棱锥的体积.（精确到0.1立方厘米）

🔍【思路分析】

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$A{O}^2+D{O}^2=A{D}^2$ 得 $A{O}^2=18$；$VA=2VO$、$V{A}^2-V{O}^2=A{O}^2$ 得 $VO=\sqrt{6}$；$V=\frac{1}{3}\times 36\times \sqrt{6}$。

✅【答案】

Success

体积约为29.3立方厘米

✍【详细解析】

Abstract

连接 $DO$，$AO$。因为 $V-ABCD$ 是正四棱锥，所以高的垂足在正方形 $ABCD$ 对角线的交点上，$\angle DOA=90^{\circ }$，$AO=DO$。由勾股定理得 $A{O}^2+D{O}^2=A{D}^2$，所以 $2A{O}^2=6^2$，$A{O}^2=18$。由已知 $VA=2VO$，而 $V{A}^2-V{O}^2=A{O}^2$，因此 $4V{O}^2-V{O}^2=18$，$VO=\sqrt{6}$ 厘米。从而 $V_{棱锥}=\frac{1}{3}\times 6^2\times \sqrt{6}=12\sqrt{6}\approx 29.3$ 立方厘米。答：这棱锥的体积约为29.3立方厘米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥体积

核心方法：勾股+侧棱关系

避坑指南：$VA=2VO$ 与 $V{A}^2-V{O}^2=A{O}^2=18$ 联立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥体积

结论推广：$V=12\sqrt{6}\approx 29.3$ cm${}^3$

方法推广：底面正方形对角线交点即高足

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-江西-04 填-球面积与大圆
• 1977-湖南-04 解-三球熔铸求半径