1977-重庆-05 解-扇形卷圆锥

本题导读

本题考查扇形卷圆锥。核心在于扇形弧长等于圆锥底面周长定 $r$，母线即扇形半径定 $h$。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 将半径为 $R$，中心角为 $120^{\circ }$ 的扇形铁片，卷成一圆锥容器，问圆锥容器的容积是多少（接缝及卷边不计）.

🔍【思路分析】

破题导航

弧长 $C=\frac{120\pi R}{180}=\frac{2\pi R}{3}=2\pi r$ 得 $r=\frac{R}{3}$；勾股 $h=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}R$；代入 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

✅【答案】

Success

圆锥的容积为 $\frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$

✍【详细解析】

Abstract

因为圆锥容积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，所以只要求出底面半径 $r$ 和圆锥的高 $h$。扇形的弧长 $C=\frac{120\pi R}{180}=\frac{2\pi }{3}R$。又 $2\pi r=\frac{2}{3}\pi R$，所以 $r=\frac{1}{3}R$。据勾股定理，$h=\sqrt{R^2-{\left(\frac{R}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}R$。因此圆锥容积 $V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R}{3}\right)}^2\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}R=\frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$。答：圆锥的容积为 $\frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：扇形卷圆锥

核心方法：弧长=底面周长

避坑指南：$\frac{120\pi R}{180}=2\pi r$ 得 $r=\frac{R}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥体积

结论推广：$V=\frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$

方法推广：扇形弧长=圆锥底面周长

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-江西-04 填-球面积与大圆
• 1977-广西理-08 解-正四棱锥体积