1993-新高考理-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积

本题导读

本题考查旋转体的结构特征（圆柱与圆锥的组合体），以及旋转体的全面积与体积计算公式。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 直角梯形的一个内角为 $45^{\circ }$，下底长为上底长的 $\frac{3}{2}$，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所得的旋转体的全面积为 $(5+\sqrt{2})\pi$，则旋转体的体积为 ()

A. $2\pi$　　　　　B. $\frac{4+\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　C. $\frac{5+\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　　　D. $\frac{7}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（几何建模）： 画出直角梯形。因为绕下底旋转，且内角有 $45^{\circ }$，则非直角腰与下底的夹角必为 $45^{\circ }$。旋转一周后，上底、直角腰、下底的一部分构成一个圆柱，非直角腰和下底的剩余部分构成一个圆锥。即旋转体是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成的组合体。
2. 第二步逻辑（建立代数关系）： 设直角梯形上底为 $2x$，则下底为 $3x$。过上底顶点向下底作垂线，划分出下底的剩余长度为 $3x-2x=x$。由于锐角为 $45^{\circ }$，该直角三角形为等腰直角三角形，故梯形的高（圆柱底面半径）也为 $x$，非直角腰（圆锥母线长）为 $\sqrt{2}x$。
3. 第三步逻辑（求最值与体积）： 利用旋转体的全面积公式（圆柱左底面 + 圆柱侧面积 + 圆锥侧面积）建立关于 $x$ 的方程，求出 $x$。最后代入组合体体积公式（圆柱体积 + 圆锥体积）算出结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设直角梯形为 $ABCD$，其中 $\angle A=\angle B=90^{\circ }$，$\angle C=45^{\circ }$。 设上底 $AB=2x$，则下底 $CD=3x$。 过点 $B$ 作 $BE\perp CD$ 于点 $E$。 则四边形 $ABED$ 为矩形，得 $DE=AB=2x$。 从而 $CE=CD-DE=3x-2x=x$。 在 $\text{Rt}△BCE$ 中，$\angle C=45^{\circ }$，所以 $△BCE$ 为等腰直角三角形。 可得梯形的高（即圆柱底面半径） $R=BE=CE=x$。 非直角腰（即圆锥母线长） $l=BC=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。

该梯形绕下底 $CD$ 所在直线旋转一周：

• 矩形 $ABED$ 旋转形成一个底面半径为 $x$，高为 $2x$ 的圆柱；
• $\text{Rt}△BCE$ 旋转形成一个底面半径为 $x$，高为 $x$，母线长为 $\sqrt{2}x$ 的圆锥。

1. 根据全面积求 $x$： 该旋转体的表面由三部分组成：圆柱的左底面、圆柱的侧面、圆锥的侧面。 $\text{全面积 }S=S_{\text{圆柱底}}+S_{\text{圆柱侧}}+S_{\text{圆锥侧}}$ $S=\pi x^2+2\pi x\cdot (2x)+\pi x\cdot (\sqrt{2}x)=\pi x^2+4\pi x^2+\sqrt{2}\pi x^2=(5+\sqrt{2})\pi x^2$ 已知全面积为 $(5+\sqrt{2})\pi$，代入得： $(5+\sqrt{2})\pi x^2=(5+\sqrt{2})\pi ⟹x^2=1⟹x=1(x>0)$

2. 计算旋转体的体积： 旋转体的总体积为圆柱体积与圆锥体积之和： $V=V_{\text{圆柱}}+V_{\text{圆锥}}=\pi R^2\cdot h_{\text{柱}}+\frac{1}{3}\pi R^2\cdot h_{\text{锥}}$ 将 $R=x=1$，$h_{\text{柱}}=2x=2$，$h_{\text{锥}}=x=1$ 代入上式： $V=\pi \cdot 1^2\cdot 2+\frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 1=2\pi +\frac{1}{3}\pi =\frac{7}{3}\pi$

故正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 简单组合体的三维空间结构辨识，圆柱侧面积 $2\pi Rh$、圆锥侧面积 $\pi Rl$ 以及各自体积公式的准确运用。
2. 核心方法： 设参元法。通过引入未知数 $x$ 将上底、下底、高、母线长等所有几何特征进行统一表征，使复杂的空间几何关系转化为一元二次代数方程求解。
3. 避坑指南： - 最易错点是全面积公式的重叠部分计算。圆柱与圆锥拼接的交界面（即矩形和三角形的公共边 $BE$ 旋转出的内部圆面）属于几何体内部，在计算“全面积”时绝不能计入。
   • 设参数时，上底设为 $2x$ 比直接设为 $x$ 能更有效避免在处理下底和高时出现分数（如 $\frac{1}{2}x$ ），利于保证后续计算的准确度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于空间立体几何中“旋转体”板块的经典压轴题。其源于平面图形的旋转运动，在现代高考试题中常以三视图或立体直观图的形式表现，考查考生的空间想象力（文科/理科通用高频思维）。
2. 结论推广（直角梯形绕下底旋转通用体积公式）： 设直角梯形上底为 $a$，下底为 $b(b>a)$，垂直于底边的腰（高）为 $h$。绕下底旋转一周所得组合体的体积公式为： $V=\pi h^{2}a+\frac{1}{3}\pi h^2(b-a)=\pi h^2\left(a+\frac{b-a}{3}\right)=\frac{\pi h^2(2a+b)}{3}$ 验证本题： $a=2,b=3,h=1⟹V=\frac{\pi \cdot 1^2\cdot (4+3)}{3}=\frac{7}{3}\pi$。掌握此推广公式可在考场上直接套用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-02 解-梯形与圆台
• 1977-重庆-05 解-扇形卷圆锥
• 1986-全国文-13 填-旋转体的体积