1977-重庆-08 解-梯形求三角比

本题导读

本题考查梯形求三角比。核心在于比例设元后，两垂线等长列双勾股方程解偏移量。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$a:b:c:d=1:3:1:2$.求在梯形 $ABCD$ 中，$\cos \alpha$，$\sin \alpha$ 和 $\sin \beta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $AE\perp DC$、$BF\perp DC$；设 $DE=x$；$A{E}^2=a^2-x^2$、$B{F}^2=d^2-(b-a-x{)}^2$，由 $AE=BF$ 解 $x=\frac{a}{4}$。

✅【答案】

Success

$\cos \alpha =\frac{7}{8}$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\sin \beta =\frac{\sqrt{15}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

自 $A$ 向 $DC$ 作垂线 $AE$，交 $DC$ 于 $E$；自 $B$ 向 $DC$ 作垂线 $BF$，交 $DC$ 于 $F$。设 $DE=x$，则 $FC=b-a-x$。依题意可知 $c=a$，$b=3a$，$d=2a$。由勾股定理得 $A{E}^2=a^2-x^2$，$B{F}^2=(2a{)}^2-(3a-a-x{)}^2$。而 $AE=BF$，所以 $a^2-x^2=(2a{)}^2-(3a-a-x{)}^2$。整理后得 $4ax=a^2$，所以 $x=DE=\frac{1}{4}a$，$FC=3a-a-x=2a-x=\frac{7}{4}a$。因此 $\cos \alpha =\frac{FC}{BC}=\frac{\frac{7}{4}a}{2a}=\frac{7}{8}$；$\sin \alpha =\frac{BF}{BC}=\frac{\sqrt{(2a{)}^2-{\left(\frac{7}{4}a\right)}^2}}{2a}=\frac{\frac{\sqrt{15}a}{4}}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{8}$；$\sin \beta =\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{c}=\frac{\frac{\sqrt{15}a}{4}}{a}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：梯形求三角比

核心方法：双勾股求偏移

避坑指南：$AE=BF$ 联立解 $x=\frac{a}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形

结论推广：$\cos \alpha =\frac{7}{8}$、$\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{8}$、$\sin \beta =\frac{\sqrt{15}}{4}$

方法推广：比例设元+双勾股

🔗【关联脉络】

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