2000-上海卷理-18 解-空间向量的外积与内积

本题导读

本题考查立体几何中异面直线所成角的应用以及四面体体积的求解。核心条件是 $AB,BC,BD$ 两两互相垂直，这为建立空间直角坐标系提供了完美的天然条件。通过引入未知数表示高 $BD$，利用异面直线夹角公式列出代数方程，求出高的长度，进而计算出体积。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 如图所示四面体 $ABCD$ 中， $AB$、$BC$、$BD$ 两两互相垂直，且 $AB=BC=2$， $E$ 是 $AC$ 中点，异面直线 $AD$ 与 $BE$ 所成的角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$，求四面体 $ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：

• 因为 $AB,BC,BD$ 两两互相垂直，以点 $B$ 为坐标原点，分别以 $BC,BA,BD$ 所在的直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系。

2. 坐标化表示关键点与向量：

• 设 $BD=h(h>0)$。
• 写出 $A,B,C,D,E$ 各点的坐标，进而表示出向量 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{BE}$。

3. 通过夹角求高：

• 利用空间向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{BE}|}$，代入已知夹角的余弦值，解出 $h$。

4. 计算体积：

• 四面体 $ABCD$ 可视为以 $△ABC$ 为底面、 $BD$ 为高的三棱锥，由 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot BD$ 求解。

✅【答案】

Success

四面体 $ABCD$ 的体积为 $\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系并表示坐标 根据题意， $AB,BC,BD$ 两两互相垂直。 以 $B$ 为原点，射线 $BC,BA,BD$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $B-xyz$。

已知 $AB=BC=2$，设 $BD=h(h>0)$。 则各顶点的坐标为：

• $B(0,0,0)$
• $C(2,0,0)$
• $A(0,2,0)$
• $D(0,0,h)$

因为 $E$ 是 $AC$ 的中点，由中点坐标公式可得： $E\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=E(1,1,0)$

第二步：求方向向量的坐标形式 计算直线 $AD$ 与 $BE$ 的方向向量： $\overrightarrow{AD}=(0-0,0-2,h-0)=(0,-2,h)$ $\overrightarrow{BE}=(1-0,1-0,0-0)=(1,1,0)$

计算两向量的内积及各自的模长： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=0\times 1+(-2)\times 1+h\times 0=-2$ $|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+h^2}=\sqrt{4+h^2}$ $|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

第三步：利用异面直线夹角公式求解 $h$ 设异面直线 $AD$ 与 $BE$ 所成的角为 $\theta$，已知 $\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{10}$。 根据向量夹角公式： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{BE}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{4+h^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2(4+h^2)}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4+h^2}}$

令其等于已知值： $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4+h^2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$

两边同时平方： $\frac{2}{4+h^2}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$ $4+h^2=20⟹h^2=16$ 因为 $h>0$，所以： $h=4(\text{即 }BD=4)$

第四步：计算四面体 $ABCD$ 的体积 由于 $BD\perp \text{平面 }ABC$，故 $BD$ 为三棱锥 $D-ABC$ 的高。 底面 $△ABC$ 是直角边长为 2 的等腰直角三角形，其面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$

所以，四面体 $ABCD$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times BD=\frac{1}{3}\times 2\times 4=\frac{8}{3}$

答： 四面体 $ABCD$ 的体积为 $\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、向量法求异面直线夹角、三棱锥体积公式。
2. 核心方法：空间向量坐标法。当题目中显含两两垂直的结构时，建系坐标化可以把复杂的立体几何空间想象转化为代数方程组求解，准确率极高。
3. 避坑指南：

• 异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，其余弦值必须恒为正。在使用向量夹角公式时，分子务必加绝对值符号。
• 最终体积公式中前面的系数是 $\frac{1}{3}$，极易因粗心漏掉或记错成棱柱的系数而导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的立体几何解答题。在2000年传统几何法与现代向量法交替的背景下，属于运用向量代数工具降维打击的典型例题。
2. 结论推广（几何法验证）： 若取 $CD$ 中点 $F$，连接 $BF,EF$，则 $EF\parallel AD$ 且 $EF=\frac{1}{2}AD$。 此时 $\angle BEF$（或其补角）即为异面直线 $AD$ 与 $BE$ 所成的角 $\theta$。利用 $△BEF$ 的余弦定理同样能解得 $BD=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积
• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积
• 1992-上海-10 填-异面直线所成的角