1992-上海-10 填-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量求夹角的方法。

📌【题干】

Question

（1992年上海卷） 如图，直平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的上底面 $ABCD$ 为菱形，$\angle BAD=60^{\circ }$，侧面为正方形.$E$、$F$ 分别是 $A_1{B}_1$、$A{A}_1$ 的中点，$M$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点，则 $EF$ 与 $B_{1}M$ 所成角的大小为$\underline{}$（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

建系，取 $AB$ 方向等，求出 $EF$ 与 $B_{1}M$ 的方向向量，用夹角余弦。

✅【答案】

Success

$\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设菱形边长为 $2$，$A{A}_1=2$。以 $A$ 为原点建系，取 $AB$ 沿 $x$ 轴，$AD$ 与 $AB$ 成 $60^{\circ }$，$A{A}_1$ 沿 $z$ 轴。可算得 $E$、$F$、$B_1$、$M$ 坐标，$EF$ 与 $B_{1}M$ 的方向向量夹角满足 $\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{4}$（经平移取锐角后），故所成角为 $\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：建系求两方向向量夹角，$|\cos \theta |=\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\theta =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{4}$

避坑指南：向量求异面直线角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：异面直线所成的角

结论推广：平移后求两向量夹角

方法推广：向量夹角法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-14 单-异面直线所成的角
• 1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角
• 1993-上海-18 单-异面直线的位置关系命题