1992-全国文-14 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查正方体中异面直线所成的角，以及平移法构造三角形。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$ 和 $N$ 分别为 $A_1{B}_1$ 和 $B{B}_1$ 的中点，那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$　　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

取 $AB$ 中点 $P$，$CN\parallel D_{1}M$ 型平移，构三角形用余弦定理得 $\frac{2}{5}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB,AD,A{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系（棱长 $1$）。$M$ 为 $A_1{B}_1$ 中点 $M\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$N$ 为 $B{B}_1$ 中点 $N\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$。则 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$\overrightarrow{CN}=\left(0,-1,\frac{1}{2}\right)$。$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$|\overrightarrow{CN}|=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，点积 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=0+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。故 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{CN}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成的角

核心方法：正方体中 $AM$ 与 $CN$ 所成角余弦 $\frac{2}{5}$

避坑指南：平移构造三角形用余弦定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于异面直线角

结论推广：平移构三角形余弦定理

方法推广：找公共点平移

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角
• 1995-全国卷文-10 单-正方体中异面直线所成的角
• 1993-上海-18 单-异面直线的位置关系命题