1995-全国卷文-10 单-正方体中异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间向量法求夹角余弦。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 如图，$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是正方体，点 $E_1$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上、点 $F_1$ 在棱 $C_1{D}_1$ 上，且 $B_1{E}_1=D_1{F}_1=\frac{A_1{B}_1}{4}$，则 $B{E}_1$ 与 $D{F}_1$ 所成的角的余弦值是 ()

A.$\frac{15}{17}$　　B.$\frac{1}{2}$　　C.$\frac{8}{17}$　　D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系写出各点坐标（$E_1$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上，$F_1$ 在棱 $C_1{D}_1$ 上，各距端点四分之一棱长）。
2. 求 $\overrightarrow{B{E}_1}$ 与 $\overrightarrow{D{F}_1}$ 夹角的余弦。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $4$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。则 $B(4,0,0)$，$D(0,4,0)$，$B_1(4,0,4)$，$C_1(4,4,4)$，$D_1(0,4,4)$。$E_1$ 在棱 $A_1{B}_1$ 上且 $B_1{E}_1=1$，故 $E_1(3,0,4)$；$F_1$ 在棱 $C_1{D}_1$ 上且 $D_1{F}_1=1$，故 $F_1(1,4,4)$。于是 $\overrightarrow{B{E}_1}=(-1,0,4)$，$\overrightarrow{D{F}_1}=(1,0,4)$，点积 $=-1+0+16=15$，$|\overrightarrow{B{E}_1}|=|\overrightarrow{D{F}_1}|=\sqrt{17}$。故异面直线 $B{E}_1$ 与 $D{F}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{15}{17}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中异面直线所成的角

核心方法：棱长 4 建系：$E_1(3,0,4)$、$F_1(1,4,4)$，$\overrightarrow{B{E}_1}\cdot \overrightarrow{D{F}_1}=15$，模均 $\sqrt{17}$，$\cos =\frac{15}{17}$，选 A

避坑指南：建系求向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材异面直线所成的角

结论推广：一般地，建系后异面角由方向向量夹角（取锐角或直角）确定

方法推广：建系求向量夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角
• 1996-上海文-21 解-二面角与异面直线所成角
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积