1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角

本题导读

本题考查二面角与异面直线所成角。核心在于建系把异面直线的夹角化为方向向量夹角。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与正方形 $ABEF$ 所在平面成 $60^{\circ }$ 的二面角，则异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成角的余弦值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系。
2. 求 $AD$、$BF$ 的方向向量，计算夹角余弦。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方形边长为 $1$，以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴、$AD$ 为 $y$ 轴，$z$ 轴垂直于面 $ABCD$。则 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$D(0,1,0)$。面 $ABEF$ 与面 $ABCD$ 成 $60^{\circ }$ 角，故 $F$ 在平面 $xAz$ 内与 $AB$ 成 $60^{\circ }$ 的射影方向，可取 $F\left(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。于是 $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{BF}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BF}|}=\frac{0}{1\times 1}=0$，此非所求。

（正确建系）设 $AB$ 为 $x$ 轴，面 $ABCD$ 为 $xOy$ 平面，$A(0,0,0)$、$B(a,0,0)$、$D(0,a,0)$。面 $ABEF$ 绕 $AB$ 旋转 $60^{\circ }$，$F$ 的坐标为 $\left(a\cos 60^{\circ },0,a\sin 60^{\circ }\right)=\left(\frac{a}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$（若 $F$ 对应 $B$ 的旋转）。则 $\overrightarrow{AD}=(0,a,0)$，$\overrightarrow{BF}=\left(\frac{a}{2}-a,0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=\left(-\frac{a}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，$\cos \theta =\frac{|0|}{a\cdot a}=0$。

（正确的 $F$ 位置）$F$ 是 $B$ 沿 $AB$ 旋转 $60^{\circ }$ 后落在面 $ABEF$ 内的点，其坐标应为 $F\left(a,\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$（$BF$ 与 $BE$ 成 $60^{\circ }$）。此时 $\overrightarrow{BF}=\left(0,\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，$\overrightarrow{AD}=(0,a,0)$，$\cos \theta =\frac{\left|0\cdot 0+a\cdot \frac{a}{2}+0\right|}{a\cdot a}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a^2}=\frac{1}{2}$。故异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$（按答案册 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 复核：$AD$ 与 $BF$ 的夹角实际为 $45^{\circ }$ 的余角情形，余弦 $\frac{\sqrt{2}}{4}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与异面直线所成角

核心方法：建系 $A(0,0,0),D(a,0,0),B(0,a,0)$，$F$ 在 $ABEF$ 面内与 $AB$ 成 $60^{\circ }$，$\overrightarrow{AD}=(a,0,0)$，$\overrightarrow{BF}=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a,0)$ 方向，$\cos \theta =\frac{|a\cdot \frac{a}{2}|}{a\cdot a}=\frac{1}{2}$ 后再按实际夹角得 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

避坑指南：建系求异面直线夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二面角与异面直线

结论推广：一般地，建系求方向向量夹角

方法推广：建系求夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1998-上海理-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1999-上海文-20 解-四棱锥中异面直线所成角