1999-上海文-20 解-四棱锥中异面直线所成角

本题导读

本题考查线面垂直的证明与异面直线所成角。核心在于线面垂直的传导证明，以及建系用向量夹角求异面直线角。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是一直角梯形，$\angle BAD=90^{\circ }$，$AD\parallel BC$，$AB=BC=a$，$AD=2a$，且 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PD$ 与底面成 $30^{\circ }$ 角.若 $AE\perp PD$，$E$ 为垂足.

(1) 求证：$BE\perp PD$；

(2) 求异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

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1. 由 $PA\perp$ 底面及 $AB\perp AD$ 得 $AB\perp$ 平面 $PAD$，故 $AB\perp PD$；又 $AE\perp PD$，得 $PD\perp$ 平面 $ABE$。
2. 建系求 $E$ 的坐标，用向量夹角公式求异面直线角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AB$。又 $AB\perp AD$，所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$，因此 $AB\perp PD$。又 $AE\perp PD$，且 $AB\cap AE=A$，所以 $PD\perp$ 平面 $ABE$，从而 $BE\perp PD$。 (2) 设 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $C(a,a,0)$，$D(0,2a,0)$。因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $\angle PDA$ 是 $PD$ 与底面 $ABCD$ 所成的角，且 $\angle PDA=30^{\circ }$。在直角三角形 $AED$ 中，$AE=AD\sin 30^{\circ }=a$。过 $E$ 作 $EF\perp AD$，垂足为 $F$，在直角三角形 $AFE$ 中，$\angle EAF=60^{\circ }$，得 $AF=\frac{a}{2}$，$EF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，于是 $E\left(0,\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$，$\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$。又 $\overrightarrow{CD}=\{-a,a,0\}$。设 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{0\times (-a)+\frac{a}{2}\times a+\frac{\sqrt{3}}{2}a\times 0}{\sqrt{0^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2}\cdot \sqrt{(-a{)}^2+a^2+0^2}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot \sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。 所以异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥中异面直线所成角

核心方法：(1) $AB\perp$ 平面 $PAD$ 得 $AB\perp PD$，又 $AE\perp PD$，故 $PD\perp$ 平面 $ABE$，$BE\perp PD$；；(2) 建系 $E(0,\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}a)$，$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，角为 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$

避坑指南：线面垂直传导 + 向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材异面直线所成角

结论推广：一般地，向量法 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

方法推广：建系算向量夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-18 解-四面体体积与异面直线所成角
• 2002-上海卷文-17 解-直三棱柱线面角