1991-三南-27 解-空间向量证线线垂直

本题导读

本题考查用空间向量证明两条直线垂直，核心在于建立空间直角坐标系并计算向量数量积。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 如图，已知直棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle BAC=30^{\circ }$，$BC=1$，$A{A}_1=\sqrt{6}$，$M$ 是 $C{C}_1$ 的中点.求证：$A{B}_1\perp A_{1}M$.

🔍【思路分析】

破题导航

以 $C$ 为原点建系，求出相关点坐标，证 $\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}M}=0$。

✅【答案】

Success

证明略（$\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}M}=0$）

✍【详细解析】

Abstract

在底面直角三角形 $ABC$ 中，$\angle A=30^{\circ }$、$\angle C=90^{\circ }$、$BC=1$，故 $AB=2$、$AC=\sqrt{3}$。建系取 $C=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$A=(0,\sqrt{3},0)$，侧棱沿 $z$ 轴正向，$A{A}_1=\sqrt{6}$，故 $B_1=(1,0,\sqrt{6})$、$A_1=(0,\sqrt{3},\sqrt{6})$、$M=(0,0,\sqrt{6}/2)$。则 $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,-\sqrt{3},\sqrt{6})$，$\overrightarrow{A_{1}M}=(0,-\sqrt{3},-\sqrt{6}/2)$，$\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}M}=0+3-3=0$，故 $A{B}_1\perp A_{1}M$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证线线垂直

核心方法：建系：C(0,0,0)、B(1,0,0)、A(0,√3,0)、B1(1,0,√6)、A1(0,√3,√6)、M(0,0,√6/2)；AB1·A1M=0 得 AB1⊥A1M。

避坑指南：空间向量数量积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证线线垂直可求两方向向量数量积为零。

结论推广：直棱柱宜建空间直角坐标系。

方法推广：向量法证垂直免去几何辅助线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-18 填-直四棱柱中的线线垂直
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离
• 1999-上海文-20 解-四棱锥中异面直线所成角