1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直的证明与二面角的求法。核心在于证明 $SC\perp$ 面 $BDE$，并用坐标法求二面角。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp BC$，$DE$ 垂直平分 $SC$，且分别交 $AC,SC$ 于 $D,E$，又 $SA=AB=a$，$BC=\sqrt{2}a$.

(1)求证：$SC\perp$ 面 $BDE$；

(2)求面 $BDE$ 与面 $BDC$ 所成的二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

建系设坐标，证明 $SC$ 垂直于平面内两相交直线，再用向量求二面角。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$\frac{\pi }{3}$（$60^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立以 $A$ 为原点的直角坐标系，三轴分别沿 $AB,BC,SA$ 方向。则 $A(0,0,0)$，$B(a,0,0)$，$C(a,\sqrt{2}a,0)$，$S(0,0,a)$。设 $D=(ta,\sqrt{2}ta,0)$。由 $DE$ 垂直平分 $SC$，得 $DS=DC$，即 $3t^2{a}^2+a^2=3(1-t{)}^2{a}^2$，解得 $t=\frac{1}{3}$。故 $D\left(\frac{a}{3},\frac{\sqrt{2}a}{3},0\right)$，$E\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{2}a}{2},\frac{a}{2}\right)$。又 $\overrightarrow{SC}=(a,\sqrt{2}a,-a)$，$\overrightarrow{DB}=\left(\frac{2a}{3},-\frac{\sqrt{2}a}{3},0\right)$，$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{a}{6},\frac{\sqrt{2}a}{6},\frac{a}{2}\right)$。计算得 $\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{DE}=0$。因 $DB$ 与 $DE$ 是面 $BDE$ 内的相交直线，故 $SC\perp$ 面 $BDE$。

（2）取面 $BDE$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{DB}\times \overrightarrow{DE}=\frac{a^2}{6}(-\sqrt{2},-2,\sqrt{2})$，面 $BDC$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,0,1)$。设二面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{1}{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$（$60^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与二面角

核心方法：证线面垂直，求二面角平面角。

避坑指南：线面垂直+二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直判定与二面角。

结论推广：SC⊥面BDE。

方法推广：二面角平面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1992-三南-25 解-线面垂直与线面平行
• 1991-三南-27 解-空间向量证线线垂直
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法