1989-广东文-32 解-线面角与距离

本题导读

本题考查线面角与点到直线的距离。核心在于利用射影等长证全等。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 如图，在平面 $\beta$ 内有 $△ABO$，在平面 $\beta$ 外有点 $S$，斜线 $SA\perp AO$，$SB\perp BO$，且斜线段 $SA$ 和 $SB$ 在 $\beta$ 内的射影是等长的线段.

(1)求证：$AO=BO$；

(2)又设点 $S$ 与平面 $\beta$ 的距离为 $3$ cm，且 $AO\perp BO$，$AB=4$ cm，求线段 $SO$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）作 SD⊥β，由 AD=BD 得 SA=SB，证全等得 AO=BO；（2）三垂线定理逆定理。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$5$ cm

✍【详细解析】

Abstract

（1）作 $SD\perp \beta$ 于 $D$，连 $AD,BD$。由已知 $AD=BD$，故 $SA=SB$（射影等长则斜线等长）。因此 $\mathrm{Rt}△SAO\cong \mathrm{Rt}△SBO$，故 $AO=BO$。 （2）由三垂线定理的逆定理，$\angle DAO=\angle DBO=90^{\circ }$。又 $\angle AOB=90^{\circ }$ 且 $AO=BO$，故四边形 $AOBD$ 是正方形，$OD=AB=4$ cm。又 $SD=3$ cm，$SO=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与距离

核心方法：斜线射影等长证 $AO=BO$，三垂线定理。

避坑指南：三垂线定理及逆定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角距离。

结论推广：三垂线定理。

方法推广：全等三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-08 单-斜线与平面内直线的位置关系