1988-广东理-31 解-四棱锥的体积与线线垂直

本题导读

本题考查四棱锥的体积与线线垂直的证明。核心在于利用面面垂直性质求高，再证 $PA\perp CD$。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PCD$ 是边长为 $2\text{cm}$ 的等边三角形，且与底面垂直，而底面 $ABCD$ 是面积为 $2\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ 的菱形，$\angle ADC$ 是锐角.

(1)求这个四棱锥的体积；

(2)求证：$PA\perp CD$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$PE$ 为高，$V=\frac{1}{3}PE\cdot S_{底}$；（2）证 $CD\perp$ 面 $PAE$。

✅【答案】

Success

(1)$2{\text{cm}}^3$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）过 $P$ 作 $PE\perp CD$，垂足为 $E$。因侧面 $PCD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PE\subset$ 侧面 $PCD$，故 $PE\perp$ 底面。等边 $△PCD$ 边长为 $2$，$PE=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}$。故 $V=\frac{1}{3}PE\cdot S_{底}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=2$ cm${}^3$。 （2）记 $\angle ADC=\theta$。底面菱形面积 $S=C{D}^2\sin \theta =4\sin \theta =2\sqrt{3}$，得 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，又 $\theta$ 为锐角，故 $\theta =60^{\circ }$。连 $AC$，$△ADC$ 是等边三角形；$PE\perp CD$ 且 $E$ 是 $CD$ 中点，连 $AE$，则 $AE\perp CD$。又 $AE\cap PE=E$，故 $CD\perp$ 平面 $PAE$。因 $PA\subset$ 平面 $PAE$，故 $PA\perp CD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的体积与线线垂直

核心方法：侧面 $PCD$ 垂直底面，$PE$ 为高，$V=\frac{1}{3}PE\cdot S_{底}=2$；由 $CD\perp$ 面 $PAE$ 证 $PA\perp CD$。

避坑指南：等边三角形高 $PE=\sqrt{3}$，底面菱形面积 $2\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥体积与线线垂直。

结论推广：面面垂直性质。

方法推广：三垂线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法