1989-广东理-31 解-线面角与距离

本题导读

本题考查线面角与点到直线的距离。核心在于利用三垂线定理证明三角形全等。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)）在平面 $β$ 内有 $△ A B C$ ，在平面 $β$ 外有点 $S$ ，斜线 $S A ⊥ A C$ ， $S B ⊥ B C$ ，且斜线 $S A, S B$ 分别与平面 $β$ 所成的角相等.

(1)求证： $A C = B C$ ；

(2)又设点 $S$ 与平面 $β$ 的距离为 $4$ 厘米， $A C ⊥ B C$ ，且 $A B = 6$ 厘米，求点 $S$ 与直线 $A B$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

过 S 作 SD⊥β，证 △SAD≌△SBD 得 SA=SB，再证 △SAC≌△SBC 得 AC=BC。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2) $5$ 厘米

✍【详细解析】

Abstract

（1）过 $S$ 作 $S D ⊥ β$ ， $D$ 是垂足，连 $A D, B D$ ，则 $S D ⊥ A D$ ， $S D ⊥ B D$ ，且 $∠ S A D$ 、 $∠ S B D$ 分别是 $S A, S B$ 与平面 $β$ 所成的角，依设 $∠ S A D = ∠ S B D$ 。又 $S D$ 是 $Rt △ S A D$ 和 $Rt △ S B D$ 的公共边，故 $△ S A D ≅ △ S B D$ ，所以 $S A = S B$ 。依设 $S A ⊥ A C$ ， $S B ⊥ B C$ ，连 $S C$ ，在 $Rt △ S A C$ 和 $Rt △ S B C$ 中， $S C = S C$ ， $S A = S B$ ，故 $△ S A C ≅ △ S B C$ ，所以 $A C = B C$ 。（2）由（1）知 $S A = S B$ ， $△ S A B$ 是等腰三角形。取 $A B$ 中点 $E$ ，连 $S E$ ，则 $S E ⊥ A B$ ， $S E$ 的长即点 $S$ 到直线 $A B$ 的距离。因 $S D ⊥ β$ ， $S A ⊥ A C$ ， $A C \subset β$ ，故 $A C ⊥ A D$ （三垂线定理的逆定理）。同理 $B C ⊥ B D$ 。又 $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C$ ，故四边形 $A C B D$ 是正方形。连 $D E$ ， $E$ 是对角线 $A B$ 中点， $D E = \frac{1}{2} A B = 3$ 。又 $S D ⊥ β$ ， $D E \subset β$ ，故 $S D ⊥ D E$ 。由 $S D = 4$ ， $D E = 3$ ，得 $S E = S D^{2} + D E^{2} = 16 + 9 = 5$ 。即点 $S$ 到直线 $A B$ 的距离为 $5$ 厘米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角与距离

核心方法：作垂线 SD，证三角形全等得 AC=BC。

避坑指南：三垂线定理及逆定理的应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角与距离。

结论推广：三垂线定理与全等。

方法推广：空间距离求法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角

1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角

1990-广东文-08 单-斜线与平面内直线的位置关系

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1989-广东理-31 解-线面角与距离

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