1996-全国卷理-19 填-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与正方形 $ABEF$ 所在平面成 $60^{\circ }$ 的二面角，则异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成角的余弦值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

确定二面角的平面角：

• 两个正方形的交线为 $AB$。
• 在正方形 $ABCD$ 中，$DA\perp AB$；在正方形 $ABEF$ 中，$FA\perp AB$。
• 根据二面角的定义，$\angle DAF$ 即为二面角 $D-AB-F$ 的平面角，其大小为 $60^{\circ }$（或 $120^{\circ }$）。由图示钝角关系，此处实际计算可取 $\angle DAF=120^{\circ }$（或直接在平移后的平行四边形内讨论，注意异面直线所成角的范围为 $\left(0^{\circ },90^{\circ }\right]$）。 平移异面直线：
• 观察图形发现，$AD\parallel BC$。
• 根据异面直线所成角的定义，将 $AD$ 平移至 $BC$ 的位置，则异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成的角就等价于相交直线 $BC$ 与 $BF$ 所成的角 $\angle CBF$（或其补角）。 在三角形中求解：
• 设正方形的边长为 1，构建 $△CBF$。
• 利用已知条件求出 $△CBF$ 的三边长 $BC,BF$ 和 $CF$。其中 $CF$ 可在 $△DAF$（或通过向量、补形）中求得。
• 在 $△CBF$ 中运用余弦定理，解出 $\cos \angle CBF$，即为最终所求。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：平移化归法（几何法）

平移异面直线并锁定目标角 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AD\parallel BC$。 根据异面直线所成角的定义，异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成的角，等价于平行线 $BC$ 与 $BF$ 所成的相交角 $\angle CBF$（或其补角）。 连接 $CF$，我们将问题集中在 $△CBF$ 中进行求解。

求出目标三角形的三边长 设正方形 $ABCD$ 和 $ABEF$ 的边长均为 1。

1. 在正方形 $ABCD$ 中， $BC=1$。
2. 在正方形 $ABEF$ 中，对角线 $BF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 求解 $CF$ 的长度：
   • 过点 $C$ 作 $CH\perp AB$ 于 $H$，因为 $ABCD$ 为正方形，所以 $H$ 与 $B$ 重合，即 $CB\perp AB$。
   • 过点 $F$ 作 $FG\perp AB$ 于 $G$，因为 $ABEF$ 为正方形，所以 $G$ 与 $A$ 重合，即 $FA\perp AB$。
   • 此时 $CB\perp AB$ 且 $FA\perp AB$，说明线段 $CB$ 平移后与 $FA$ 轴向一致。
   • 考虑四边形 $CBAF$：因为 $CB\parallel DA$ 且 $CB=DA=1$，原二面角平面角 $\angle DAF=120^{\circ }$（图示为钝角侧）。
   • 由于 $AD\parallel BC$，则在平面 $ABCF$ 的投影空间中，$\angle CBF$ 的对边 $CF$ 的跨度可通过补形平行四边形得到： 过 $C$ 作 $FA$ 的平行线，易得在 $△DAF$ 中， $DA=1,FA=1,\angle DAF=120^{\circ }$。 由余弦定理： $D{F}^2=D{A}^2+F{A}^2-2DA\cdot FA\cdot \cos 120^{\circ }=1+1-2\times 1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=3$ 因为四边形 $CDFE$ 在沿 $AB$ 轴向平移时保持轴对称性， $CF=DF=\sqrt{3}$。

在 $△CBF$ 中运用余弦定理求角度 在 $△CBF$ 中，三边长分别为 $BC=1,BF=\sqrt{2},CF=\sqrt{3}$。 由余弦定理得： $\cos \angle CBF=\frac{B{C}^2+B{F}^2-C{F}^2}{2BC\cdot BF}=\frac{1^2+(\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}{2\times 1\times \sqrt{2}}=\frac{1+2-3}{2\sqrt{2}}=0$

因为余弦值为 0，说明 $\angle CBF=90^{\circ }$。 因此，异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成角的余弦值为 0。

方法二：空间向量法（推荐，不易错）

以 $A$ 为原点，建立空间直角坐标系。

1. 令 $\overrightarrow{AB}$ 方向为 $x$ 轴正方向，则 $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$。
2. 在平面 $ABEF$ 内，过 $A$ 作垂直于 $AB$ 的直线为 $y$ 轴，则 $\overrightarrow{AF}=(0,1,0)$。
3. 建立 $z$ 轴垂直于平面 $ABEF$。
   • 因为二面角为 $60^{\circ }$，正方形 $ABCD$ 所在的平面与 $y$ 轴垂直方向的夹角为 $60^{\circ }$。
   • 向量 $\overrightarrow{AD}$ 在 $yOz$ 平面上的投影模长为 1，其与 $y$ 轴负方向（由图示钝角倾斜可知）或正方向的夹角对应二面角关系。
   • 写入分量：$\overrightarrow{AD}=(0,\cos 120^{\circ },\sin 120^{\circ })=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
4. 写出向量 $\overrightarrow{BF}$：
   • 点 $B(1,0,0)$，点 $F(0,1,0)$。
   • $\overrightarrow{BF}=F-B=(-1,1,0)$。

计算数量积与模长： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BF}=0\times (-1)+\left(-\frac{1}{2}\right)\times 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0=-\frac{1}{2}$ $|\overrightarrow{AD}|=1,|\overrightarrow{BF}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

求夹角余弦值： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{BF}|}=\frac{|-\frac{1}{2}|}{1\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

⚠️ 审题修正提示： 几何法中，关于二面角在图形中的实际形态是锐角还是钝角，容易受视觉直观干扰。通过标准空间坐标系，若将二面角视为锐角 $60^{\circ }$ 侧探讨： 则 $\overrightarrow{AD}=(0,\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 此时 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}$。 无论二面角取 $60^{\circ }$ 还是其补角 $120^{\circ }$，由于异面直线所成角始终取锐角范围，数量积加上绝对值后，其最终结果恒为： $\cos \theta =\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线平移化归技术；二面角平面角对空间立体线段长度的定量控制；空间向量夹角公式。 核心方法：“空间向量归一法”。由于传统几何法极易在平移后因为“无法直观判定三角形是锐角还是钝角”而导致大题失分，直接建立建系坐标，用向量点乘公式求模长和夹角，是立体几何客观题最不易出错的工业化通法。 避坑指南：

• 平移死角陷阱：几何法中，极易误认为 $\angle ABF$ 是所求角。必须严格按照平行平移的法则，将 $AD$ 替换为 $BC$，此时相交点在 $B$，目标角为 $\angle CBF$。
• 忘记异面直线夹角范围限制在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，向量法最后输出结果前务必加上绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于立体几何线线角判定的中档经典题型。取材于教材中“异面直线所成的角”与“面面垂直与相交的性质”课后习题。 结论推广： 对于两个共享底边 $a$ 的正方形，若它们相互折起成二面角 $\alpha$，则由一侧边与另一侧对角线组成的异面直线夹角 $\theta$ 的余弦值，存在固定的空间投影算子模型： $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos \alpha |$ 本题验证：直接将本题二面角 $\alpha =60^{\circ }$ 代入该推广公式中： $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\times \cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 这套算子模型在所有折叠纸片、翻折多面体求线线夹角的大题中均可作为直接心算的万能公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1998-上海理-19 解-直四棱柱的二面角与异面角
• 1999-上海文-20 解-四棱锥中异面直线所成角