1988-全国卷理-09 单-异面直线及其所成的角

本题导读

本题考查空间两直线的位置关系辨识，以及正四棱台的几何性质。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 如图，正四棱台 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中， $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 所在的直线与 $B{B}^{\prime }$ 所在的直线是 ()

A. 相交直线　B. 平行直线　C. 不互相垂直的异面直线　D. 互相垂直的异面直线

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 在上底面内，$B{B}^{\prime }$ 是侧棱，两直线既不平行也不相交，是异面直线，排除 A、B。
2. 上底面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 是正方形，$A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$，把 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 平移到 $B^{\prime }{C}^{\prime }$，异面直线所成角转化为 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 的夹角。
3. 侧面 $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 是等腰梯形，分析 $B^{\prime }$ 处夹角是否为 90°。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：判定是否为异面直线 直线 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 在上底面平面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 内，侧棱 $B{B}^{\prime }$ 与上底面交于点 $B^{\prime }$，而 $B^{\prime }$ 不在 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 上（上底面是正方形）。 所以 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 既不相交也不平行，是异面直线，排除 A、B。

• 第二步：平移转化夹角 上底面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 是正方形，所以： $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }\text{(1)}$

  异面直线 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 所成的角等于 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 所成的角，即平面等腰梯形 $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 中 $B^{\prime }$ 处的角。

• 第三步：判断是否垂直 等腰梯形 $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ 中，侧棱 $B{B}^{\prime }$ 与上底边 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 交于点 $B^{\prime }$。正棱台的侧棱向内倾斜，等腰梯形中上底角为钝角： $\angle B{B}^{\prime }{C}^{\prime }>90^{\circ }\text{(2)}$ 所以 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 不垂直，即异面直线 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 不垂直。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间异面直线的判定、异面直线所成角的平移转化、正四棱台侧面的角度特征。
2. 核心方法：平移法。
3. 避坑指南：
   • 不要凭直观判断：看到 $A^{\prime }{D}^{\prime }$ 水平、$B{B}^{\prime }$ 倾斜，容易误以为它们垂直而错选 D。应找平行线把异面直线平移到同一平面内再判断。
   • 棱台的侧面是等腰梯形，侧棱与底边的夹角是锐角或钝角，不可能是 90°。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1988 年全国高考理科卷第 9 题，考查空间两直线的位置关系。
2. 结论推广：求异面直线所成的角，通常平移其中一条（或两条）直线，把异面直线转化为相交直线，再在三角形或梯形中求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-12 单-正四棱台中的异面直线
• 1990-全国文-14 单-异面直线所成的角
• 1992-上海-10 填-异面直线所成的角