1989-广东理-13 单-正三棱锥的全面积

本题导读

本题考查正三棱锥的全面积，侧面为直角三角形时确定棱长。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 $a$ 时，该三棱锥的全面积是()

A. $\frac{3+\sqrt{3}}{4}{a}^2$　　　　　　B. $\frac{3}{4}{a}^2$　　　　　　C. $\frac{3+\sqrt{3}}{2}{a}^2$　　　　　　D. $\frac{6+\sqrt{3}}{4}{a}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

侧面为直角三角形，求侧棱长与侧面面积，加底面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

正三棱锥底面为等边三角形，边长 $a$，底面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。侧面为直角三角形（两腰相等，即侧棱），设侧棱 $b$，由底面边长 $a$ 与侧棱关系，侧面三角形斜边为底面边 $a$，故 $2b^2=a^2$，$b=\frac{a}{\sqrt{2}}$，每个侧面面积 $\frac{1}{2}{b}^2=\frac{a^2}{4}$，三个侧面共 $\frac{3a^2}{4}$。全面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}{a}^2$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥的全面积

核心方法：侧棱长与底面边长的关系由直角三角形确定。

避坑指南：全面积含底面等边三角形面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥全面积。

结论推广：全面积=底+侧。

方法推广：直角三角形侧面的棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-29 填-三棱锥的高
• 1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角
• 1991-三南-03 单-正六棱锥的体积