1988-广东理-11 单-正方体内切球的体积

本题导读

本题考查正方体的内切球体积，先由全面积求棱长。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 设正方体的全面积为 $24{\text{cm}}^2$，一个球内切于该正方体，那么，这个球的体积是()

A. $\frac{4}{3}\pi {\text{cm}}^3$　　　　　　B. $\frac{8}{3}\pi {\text{cm}}^3$　　　　　　C. $\sqrt{6}\pi {\text{cm}}^3$　　　　　　D. $\frac{32}{3}\pi {\text{cm}}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

全面积 $6a^2=24$，$a=2$，内切球半径 $1$，体积 $\frac{4}{3}\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $a$，则全面积 $6a^2=24$，$a=2$。内切球半径 $r=\frac{a}{2}=1$，体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi$ cm${}^3$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体内切球的体积

核心方法：正方体全面积 $6a^2=24$，$a=2$，内切球半径 $1$，体积 $\frac{4}{3}\pi$。

避坑指南：内切球半径等于棱长的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：内切球体积。

结论推广：半径=半棱长。

方法推广：全面积求棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-13 单-正三棱锥的全面积
• 1990-广东理-23 单-正方体顶点构成四面体的计数
• 1989-上海-04 填-正四棱锥的体积