1986-上海理-22 填-正方体与内切球

本题导读

本题考查正方体的内切球体积。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 正方体的全面积是 $6$，则其内切球体积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

全面积 $6s^2=6$ 得棱长 $s=1$，内切球半径 $\frac{s}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设棱长为 $s$，全面积 $6s^2=6$，$s=1$。内切球半径 $r=\frac{s}{2}=\frac{1}{2}$，体积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8}=\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体与内切球

核心方法：全面积 6 给棱长 $s=1$，内切球半径 $\frac{s}{2}$。

避坑指南：$V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{\pi }{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体内切球。

结论推广：半径 $=\frac{s}{2}$。

方法推广：由全面积反求棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-11 单-正方体内切球的体积
• 2014-湖南卷文-08 单-内切球