1985-上海理-14 单-棱锥与内切圆

本题导读

本题考查棱锥顶点到各边等距的几何意义。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 若一个棱锥的底面是边数大于 3 的凸多边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面多边形 ()

A. 必为正多边形　B. 必有内切圆　C. 必有外接圆　D. 必既有内切圆又有外接圆

🔍【思路分析】

破题导航

顶点射影到底面，各边距离相等则底面有内切圆。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设棱锥顶点 $P$ 在底面的射影为 $H$，底面各边所在直线为 $e_i$。因 $PH\perp$ 底面，在垂直于 $e_i$ 的截面内有 $P{E}_i^2=h^2+d_i^2$（$d_i$ 为 $H$ 到 $e_i$ 的距离）。题设各 $P{E}_i$ 相等，故各 $d_i$ 相等，即以 $H$ 为圆心、公共距离为半径的圆与各边相切，底面必有内切圆。但不必正多边形，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱锥与内切圆

核心方法：射影到各边距离相等则必有内切圆

避坑指南：只保证有内切圆，不一定正多边形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥顶点到各边等距的几何意义

结论推广：射影到各边等距 $\Rightarrow$ 底面有内切圆

方法推广：用射影与截面距离公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-22 填-正方体与内切球
• 1985-全国文-15 解-三棱锥二面角与内切圆