1988-广东理-30 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查多项式乘积中指定项的系数。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 在 $(1+x+x^2)(1-x{)}^{10}$ 的展开式中，$x^5$ 的系数是　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$x^5$ 来自 $1\cdot C_{10}^5(-1{)}^5+x\cdot C_{10}^4(-1{)}^4+x^2\cdot C_{10}^3(-1{)}^3$。

✅【答案】

Success

$-162$

✍【详细解析】

Abstract

$(1-x{)}^{10}$ 的通项 $T_{r+1}=C_{10}^r(-x{)}^r$。$x^5$ 项来自三部分：$1\cdot C_{10}^5(-1{)}^5{x}^5$、$x\cdot C_{10}^4(-1{)}^4{x}^4$、$x^2\cdot C_{10}^3(-1{)}^3{x}^3$。系数 $=-C_{10}^5+C_{10}^4-C_{10}^3=-252+210-120=-162$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的系数

核心方法：$(1+x+x^2)(1-x{)}^{10}$ 中 $x^5$ 系数 $=-C_{10}^5+C_{10}^4-C_{10}^3=-162$。

避坑指南：$x^5$ 来自 $1\cdot C_{10}^5(-1{)}^5+x\cdot C_{10}^4(-1{)}^4+x^2\cdot C_{10}^3(-1{)}^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数。

结论推广：三项分配。

方法推广：符号 $(-1{)}^r$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-27 填-多项式展开式的系数
• 1989-广东理-13 单-正三棱锥的全面积
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