1986-全国文-15 填-二项式的常数项

本题导读

本题考查二项式展开式中的常数项。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 求 ${\left(2x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$ 展开式中的常数项.

🔍【思路分析】

破题导航

通项指数 $15-5j=0$ 定 $j$。

✅【答案】

Success

$-40$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{j+1}=C_5^j(2x^3{)}^{5-j}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^j=C_5^j{2}^{5-j}(-1{)}^j{x}^{15-5j}$。令 $15-5j=0$ 得 $j=3$。常数项 $=C_5^3\cdot 2^2\cdot (-1{)}^3=10\cdot 4\cdot (-1)=-40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式的常数项

核心方法：通项 $C_5^j(2x^3{)}^{5-j}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^j$，指数 $15-5j=0$。

避坑指南：$j=3$，$C_5^3\cdot 2^2\cdot (-1)=-40$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式通项。

结论推广：令 $x$ 指数为零。

方法推广：定 $j$ 再算系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数
• 1988-广东理-30 填-二项式展开式的系数
• 1989-全国文-05 单-二项式展开系数的和