1986-全国理-15 填-二项式的常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及通项公式。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 求 ${\left(2x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$ 展开式中的常数项.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 调用二项式通项公式： 对于二项式 $(a+b{)}^n$，其展开式的通项公式为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。在本题中， $a=2x^3$， $b=-x^{-2}$， $n=5$。
2. 分离系数与变量项： 将通项公式展开，把纯数字系数部分与含自变量 $x$ 的指数幂部分进行对齐与合并。
3. 锁定常数项约束： 常数项中自变量 $x$ 的指数严格为 0。令合并后的 $x$ 的指数代数式等于 0，解出项数变元 $r$，代入系数部分完成计算。

✅【答案】

Success

$-40$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(2x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5$ 展开式的第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(2x^3{)}^{5-r}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^r={\mathrm{C}}_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3(5-r)}\cdot x^{-2r}={\mathrm{C}}_5^r\cdot 2^{5-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{15-5r}$。 令 $x$ 的指数为 0，得 $15-5r=0$，即 $r=3$。 于是常数项为 ${\mathrm{C}}_5^3\cdot 2^{5-3}\cdot (-1{)}^3=10\cdot 4\cdot (-1)=-40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 负号：第二项 $\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ 的负号要单独拆成 $(-1{)}^r$，不能漏。
• 指数合并：$x$ 的指数为 $3(5-r)+(-2r)=15-5r$，令其等于 0 即得 $r=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二项式定理的通项应用，考查指数运算与方程思想，是求指定项（常数项）的经典题型，为后续多项式展开奠定基础。

2. 结论推广：${\left(A{x}^p+B{x}^{-q}\right)}^n$ 的常数项存在的条件是 $np-(p+q)r=0$ 有整数解 $r\in [0,n]$，此时常数项为 ${\mathrm{C}}_n^r{A}^{n-r}{B}^r$。

3. 方法推广：求二项式展开指定项，用通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，令变量的指数满足要求解出 $r$。

🔗【关联脉络】

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