1987-全国卷理-11 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及组合数计算公式。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 若 $(1+x{)}^n$ 的展开式中， $x^3$ 的系数等于 $x$ 的系数的 $7$ 倍，求 $n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由二项式定理，$(1+x{)}^n$ 展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{x}^r$：
   • $x$ 的系数（$r=1$）为 ${\mathrm{C}}_n^1$；
   • $x^3$ 的系数（$r=3$）为 ${\mathrm{C}}_n^3$。
2. 由题意“$x^3$ 的系数等于 $x$ 的系数的 $7$ 倍”，列方程 ${\mathrm{C}}_n^3=7{\mathrm{C}}_n^1$。
3. 用组合数公式展开，化为关于 $n$ 的二次方程，结合 $n\ge 3$ 求解。

✅【答案】

Success

$8$

✍【详细解析】

Abstract

解：

由二项式定理： $(1+x{)}^n={\mathrm{C}}_n^0+{\mathrm{C}}_n^{1}x+{\mathrm{C}}_n^2{x}^2+{\mathrm{C}}_n^3{x}^3+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n{x}^n\text{(1)}$

由式 ①：

• $x$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^1=n\text{(2)}$
• $x^3$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\text{(3)}$

由题意： ${\mathrm{C}}_n^3=7{\mathrm{C}}_n^1\text{(4)}$

代入式 ②、③： $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=7n\text{⑤}$

因为 ${\mathrm{C}}_n^3$ 的上标为 $3$，所以： $n\ge 3\text{⑥}$

由 ⑥ 知 $n\ne 0$，式 ⑤ 两边可约去 $n$： $\frac{(n-1)(n-2)}{6}=7\text{⑦}$

两边乘 6： $(n-1)(n-2)=42\text{⑧}$ 展开并移项： $n^2-3n+2=42⟹n^2-3n-40=0\text{⑨}$

十字相乘： $(n-8)(n+5)=0\text{⑩}$

解得： $n_1=8,n_2=-5\text{⑪}$

结合 ⑥（$n\ge 3$），舍去负根 $n_2=-5$。 所以 $n=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$(1+x{)}^n$ 展开式的通项系数、组合数公式、一元二次方程因式分解。
2. 核心方法：通项公式法、方程法。
3. 避坑指南：
   • 不要忘记组合数的隐含约束：求出二次方程的解后，要用 $n\ge 3$ 舍去负根 $n=-5$。
   • 因为已明确 $n\ge 3$，式 ⑤ 两边可以约去 $n$，直接降次，避免解一元三次方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为《二项式定理》中通项公式应用的基础题。
2. 结论推广：若 $(1+x{)}^n$ 展开式中 $x^m$ 的系数是 $x^k$ 的系数的 $M$ 倍（$n\ge m>k\ge 1$），则 $\frac{{\mathrm{C}}_n^m}{{\mathrm{C}}_n^k}=M⟹\frac{k!\cdot (n-k)!}{m!\cdot (n-m)!}=M$ 本题 $m=3,k=1,M=7$，代入得 $\frac{(n-1)(n-2)}{3\times 2}=7$，解得 $n=8$。

🔗【关联脉络】

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1988-全国文-07 单-二项式展开式的系数 1989-全国文-05 单-二项式展开系数的和 1990-全国文-17 填-多项式展开式的系数