2000-新课标理-15 填-数列的递推关系式

本题导读

本题考查递推数列通项公式的求解。核心意图在于测试学生对含有二次项与交叉项的非线性递推关系式的因式分解能力，要求能够将其转化为一阶线性比例结构，进而通过累乘法求出正项数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 1 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0(n=1,2,3,\cdots )$，则它的通项公式是 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将递推式看作一元二次方程：视 $a_{n+1}$ 为自变量，将原式重组为关于 $a_{n+1}$ 的一元二次方程： $(n+1)a_{n+1}^2+a_n\cdot a_{n+1}-n{a}_n^2=0$。
2. 利用十字相乘法因式分解：对该二次方程的系数进行分解，拆分为两个一阶因式的乘积形式。
3. 结合正项限制筛选递推关系：根据已知条件 $\{a_n\}$ 是“正项数列”（即 $a_n>0$），排斥掉异号的因式，锁定唯一的有效项比关系。
4. 利用累乘法求通项：根据得到的 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的比例系数，通过累乘消元算得 $a_n$ 的标准解析式。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对非线性递推式进行因式分解 已知递推关系式为： $(n+1)a_{n+1}^2+a_n\cdot a_{n+1}-n{a}_n^2=0$

将其看作关于 $a_{n+1}$ 的一元二次方程，尝试使用十字相乘法：

• 左侧二次项系数 $(n+1)$ 可拆分为 $(n+1)\times 1$；
• 右侧常数项 $-n{a}_n^2$ 可拆分为 $(+n{a}_n)\times (-a_n)$。

交叉相乘并相加验证中间项： $(n+1)\times (-a_n)+1\times (n{a}_n)=-(n+1)a_n+n{a}_n=-n{a}_n-a_n+n{a}_n=-a_n$ 发现结果为 $-a_n$，与中间项的 $+a_n$ 符号相反。调整正负号重新拆分：

• 将常数项 $-n{a}_n^2$ 调整拆分为 $(-n{a}_n)\times (+a_n)$。

再次交叉验证： $(n+1)\times (+a_n)+1\times (-n{a}_n)=(n+1)a_n-n{a}_n=a_n$ 中间项吻合。因此，原方程可因式分解为： $[(n+1)a_{n+1}-n{a}_n]\cdot [a_{n+1}+a_n]=0$

第二步：根据正项条件化简递推关系 由因式分解结果可得两个可能的代数分支：

1. $(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=0⟹a_{n+1}=\frac{n}{n+1}{a}_n$
2. $a_{n+1}+a_n=0⟹a_{n+1}=-a_n$

因为已知 $\{a_n\}$ 是正项数列，即对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒有 $a_n>0$。 如果 $a_{n+1}=-a_n$，则相邻两项必然一正一负（正负交替），这与正项数列的限制相矛盾，故该分支舍去。 因此，数列必须满足如下递推比例关系： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}\text{(1)}$

第三步：利用累乘法求通项公式 由 ① 式，当 $n\ge 2$ 时，可以将各级比例式连续相乘： $a_n=a_1\cdot \frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdot \frac{a_4}{a_3}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$

将具体的代数分式代入上式中： $a_n=1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdots \frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}$

观察发现，中间所有相邻分式的分子与分母可以两两对角线完全约分消去： $a_n=1\cdot \left(\frac{1}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}}\cdots \frac{\cancel{n-2}}{\cancel{n-1}}\cdot \frac{\cancel{n-1}}{n}\right)$ 化简精简后只剩下首项的分子 1 和末项的分母 $n$： $a_n=\frac{1}{n}$

当 $n=1$ 时，代入上式得 $a_1=\frac{1}{1}=1$，与题目已知条件 $a_1=1$ 完全吻合。 因此，该通项公式对所有 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均成立。

答案： $\frac{1}{n}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带系数的二项式因式分解技巧；正项边界条件的逻辑筛选；累乘消元法（$\prod \frac{a_{n+1}}{a_n}$）。
2. 核心方法：一元二次方程模型化。
3. 避坑指南：

• 因式分解符号错位陷阱：在利用十字相乘法时，极其容易将 $(n+1)$ 与 $+a_n$ 的组合配错成减号，导致分解出 $(n+1)a_{n+1}+n{a}_n=0$，从而误认为 $a_{n+1}=-\frac{n}{n+1}{a}_n$ 进而得出空集。
• 约分边界多留项陷阱：在写出累乘链条时，要严格对应好消去的方向（前项分母消去后项分子），确保最后留下来的是 $\frac{1}{n}$ 而非 $\frac{1}{n-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的非线性递推数列转化为线性累乘结构的综合中档题，取材于高中代数教材中“数列的递推公式”章节下的章末能力拔高思考题。
2. 结论推广： 在差分方程与组合数学中，形如 $f(n)a_{n+1}^2+g(n)a_{n+1}{a}_n+h(n)a_n^2=0$ 的双二次同次齐次递推模型，恒可通过引入特征元比值 $x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 转换为标准一元二次方程 $f(n)x_n^2+g(n)x_n+h(n)=0$。通过显式求解该方程的根，即可将任何复杂的二次递推系统降维解耦为经典的加法累加数列或乘法累乘数列。这一变换方法是高等数学中求解二阶变系数常微分方程时常用的代数归结技术。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-20 解-数列通项与裂项求和
• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项