1994-上海理-23 解-二面角与点到平面的距离

本题导读

本题考查二面角与点到平面的距离。核心在于用三垂线定理找二面角平面角，用线面垂直求距离。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，$AB=a$，$AD=3a$，且 $\angle ADC=\arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$，又 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=a$.求：

(1)二面角 $P-CD-A$ 的大小（用反三角函数表示）；

(2)点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 过 $A$ 作 $AE\perp CD$，用三垂线定理找平面角。
2. 解直角三角形求 $AE$、$\angle PEA$。
3. 过 $A$ 作 $AH\perp PB$，证 $AH\perp$ 面 $PBC$ 求距离。

✅【答案】

Success

(1) $\arctan \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在平面 $ABCD$ 内过 $A$ 作 $AE\perp CD$ 交 $CD$ 于 $E$，连接 $PE$。因 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，由三垂线定理知 $PE\perp CD$，故 $\angle PEA$ 是二面角 $P-CD-A$ 的平面角。在 $\mathrm{Rt}△AED$ 中，$AD=3a$，$\angle ADE=\arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$，故 $AE=AD\sin \angle ADE=3a\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}a$。在 $\mathrm{Rt}△PAE$ 中，$\tan \angle PEA=\frac{PA}{AE}=\frac{a}{\frac{3\sqrt{5}}{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，故 $\angle PEA=\arctan \frac{\sqrt{5}}{3}$，即二面角为 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{3}$。 (2)在平面 $PAB$ 内过 $A$ 作 $AH\perp PB$ 交 $PB$ 于 $H$。因 $PA\perp$ 面 $ABCD$，故 $PA\perp BC$；又 $AB\perp BC$，故 $BC\perp$ 面 $PAB$，从而 $BC\perp AH$，于是 $AH\perp$ 面 $PBC$。在等腰直角三角形 $PAB$（$PA=AB=a$）中，$AH=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，即点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角与点到平面的距离

核心方法：(1) 过 $A$ 作 $AE\perp CD$ 交于 $E$，连 $PE$，三垂线定理得 $PE\perp CD$，$\angle PEA$ 为二面角平面角；$AE=AD\sin \angle ADC=3a\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}a$，$\tan \angle PEA=\frac{PA}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，故二面角 $\arctan \frac{\sqrt{5}}{3}$；(2) 过 $A$ 作 $AH\perp PB$ 交于 $H$，由 $BC\perp$ 面 $PAB$ 得 $AH\perp$ 面 $PBC$，$AH=\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 即所求距离

避坑指南：三垂线定理定平面角 + 线面垂直求距离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二面角与距离

结论推广：一般地，三垂线定理定平面角、线面垂直求距离

方法推广：三垂线定理定平面角 + 线面垂直求距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-23 解-四棱锥的体积与二面角
• 1996-上海文-21 解-二面角与异面直线所成角
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离