本题导读
本题考查正三棱柱的性质、面面垂直的性质与判定。核心在于传统几何综合法、空间向量法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（1996年全国卷(理)） 如图，在正三棱柱 中，，截面 侧面 .
(1) 求证：；
(2) 若 ，求平面 与平面 所成二面角（锐角）的度数.
🔍【思路分析】
破题导航
第 (1) 问证明思路：
- 截面 侧面 ，交线为 。在平面 内过点 作交线 的垂线 ，由面面垂直性质定理，该直线必垂直于侧面 。
- 另一种更简便的传统几何法是：利用正三棱柱的对称性，作底面中点或利用射影几何。取 的中点 和 的中点 ，连接 和 ，证明 平面 。通过面面垂直的性质，将 点的垂直关系转化为投影线段的比例关系。 第 (2) 问计算思路（空间向量法）：
- 条件 说明侧棱长等于底面边长。
- 取 中点为原点建系，或者以 为原点建立空间直角坐标系。
- 写出核心特征点 的具体坐标。
- 分别求出平面 的法向量 和平面 的法向量 （即侧棱方向向量）。
- 利用向量夹角公式 算得二面角的余弦值，进而确定其锐角度数。
✅【答案】
Success
(1) 证明见解析
(2)
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明：
设正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 。 取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， 和 。
因为 是正三角形，且 是 的中点，所以： 又在正三棱柱中，侧棱 底面 ，且 底面 ，所以： 因为 ，根据线面垂直的判定定理，可得：
因为已知截面 侧面 ，且两平面的交线为 。 在平面 内，过点 作 于点 。 根据面面垂直的性质定理（两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面），可得：
因为 侧面 且 侧面 ，所以在空间内： 由此可知，点 和点 的连线平行于底面的中线。这说明点 在侧面 上的正射影 必然落在过点 且平行于侧棱的轴线上（即中线矩形 的剖面内）。
在矩形 中，作 于 ，则 侧面 。 因此点 即为点 在 上的射影，且 。 由于 侧面 ，且 平面 ，而 平面 。 因为已知 ，由三垂线定理逆定理可知，其在侧面上的射影线段也必垂直于该直线，即：
在矩形 中： （或利用坐标与斜率乘积为 -1 判定）。 设 ，则 。 由相似三角形比例关系： 通过全等或直接建立直角坐标关系，由于几何体的对称轴交叠，可以证明当 时，点 的高度处于整条侧棱的中心。 即其空间射影 恰好满足中点比例，故：
(2) 求解二面角的度数
因为 ，不妨设正三棱柱的边长与侧棱长均为 。由第 (1) 问可知，。 以 的中点 为坐标原点 ， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向， （即平行于侧棱向上）方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系。
各核心特征点的坐标分别如下：
1. 求平面 的法向量 ： 写出平面内的两个向量：
设平面 的法向量为 ，则满足： 由第一式可得 。代入第二式： 令 ，则 。得到平面 的一个法向量为：
2. 求平面 的法向量 ： 因为平面 是底面，其法向量垂直于底面，即平行于 轴（侧棱方向）。 可直接取其标准法向量为：
3. 计算两个法向量夹角的余弦值：
设平面 与平面 所成二面角（锐角）为 ，则其余弦值为法向量夹角余弦值的绝对值：
因为 ，由 可得：
平面 与平面 所成二面角的度数为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：正三棱柱的空间拓扑对称性；面面垂直性质定理转化线面垂直；利用空间直角坐标系求解二面角平面角。 核心方法：“空间向量建系法”。在解决立体几何大题第二问的二面角、线面角问题时，传统的作高、寻找平面角方法极其依赖空间想象力且证明繁琐。通过寻找三个两两垂直的轴（如正三角形中垂线、底边、侧棱）建立空间坐标系，通过行列式求解法向量，是确保考场稳拿满分的工业化方法。 避坑指南：
- 建系轴向不垂直陷阱：极易在正三棱柱中错误地以 为 轴、 为 轴建系。必须明确，正三角形的两个边夹角是 而非 。建系时**必须寻找相互垂直的几何线（如底边的中垂线与底边）**作为轴。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于立体几何大题的经典压轴题型。取材于高三一轮复习中关于“空间向量与立体几何”章节的综合能力测试，主要评估多面体中线面垂直与面面夹角的代数化求解素养。 结论推广： 在任意侧棱长等于底面边长的正三棱柱中，若截面过一底边顶点、对侧侧棱中点及另一底面顶点：
- 该截面与底面所成二面角的锐角值恒为常数 ；
- 该截面与垂直侧面所成的夹角恒为常数 。 这一特殊的 对称常数结构是高考试题中进行空间图形切割、补形时经常被选用的高频基准比例。
🔗【关联脉络】
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