1995-上海文-24 解-椭圆内接四边形的面积最值

本题导读

本题考查椭圆内接四边形的面积与最值。核心在于用对称性把面积化为 $\theta$ 的函数，再分 $m,n$ 大小用均值不等式或单调性求最值。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 设椭圆的方程为 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$（$m,n>0$），过原点且倾角为 $\theta$ 和 $\pi -\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）的两条直线分别交椭圆于 $A$，$C$ 和 $B$，$D$ 四点.

(1)用 $\theta$，$m$，$n$ 表示四边形 $ABCD$ 的面积 $S$；

(2)若 $m$，$n$ 为定值，当 $\theta$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上变化时，求 $S$ 的最大值 $u$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设倾角为 $\theta$ 的直线为 $y=x\tan \theta$，与椭圆联立求交点。
2. 由对称性四边形为矩形，求面积。
3. 分 $m>n$、$m<n$ 讨论最值。

✅【答案】

Success

(1) $S=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$

(2) $u=\{\begin{array}{ll}2mn,& 0<n<m\\ \frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2},& 0<m<n\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设经过原点且倾角为 $\theta$ 的直线为 $y=x\tan \theta$，与 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$ 联立，解得 $x^2=\frac{m^2{n}^2}{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$、$y^2=\frac{m^2{n}^2{\tan }^2\theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$。由对称性，四边形 $ABCD$ 为矩形，故 $S=4|xy|=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$。 (2)$S=\frac{4m^2{n}^2}{\frac{n^2}{\tan \theta }+m^2\tan \theta }$。 （i）当 $m>n$ 时，$\frac{n}{m}<1$，由均值不等式 $\frac{n^2}{\tan \theta }+m^2\tan \theta \ge 2mn$，当 $\tan \theta =\frac{n}{m}$ 时取等（此时 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right]$），故 $u=2mn$。 （ii）当 $m<n$ 时，可证 $S$ 是 $\theta$ 的递增函数，故当 $\theta =\frac{\pi }{4}$（$\tan \theta =1$）时取最大值 $u=\frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆内接四边形的面积最值

核心方法：(1) $S=4|xy|=\frac{4m^2{n}^2\tan \theta }{n^2+m^2{\tan }^2\theta }$；(2) 当 $m>n$ 用均值不等式得 $u=2mn$，当 $m<n$ 用单调性得 $u=\frac{4m^2{n}^2}{m^2+n^2}$

避坑指南：对称性求面积 + 均值与单调性求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的最值

结论推广：一般地，对称性求面积、均值与单调性求最值

方法推广：对称性求面积 + 均值与单调性求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 1995-上海理-24 解-椭圆内接四边形的面积最值
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积