1992-全国卷理-10 单-圆与抛物线相切

本题导读

本题考查抛物线的几何性质（准线方程），以及圆的标准方程与一般方程。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 圆心在抛物线 $y^2=2x$ 上，且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ()

A. $x^2+y^2-x-2y-\frac{1}{4}=0$　　　　B. $x^2+y^2+x-2y+1=0$ C. $x^2+y^2-x-2y+1=0$　　　　　D. $x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0$

🔍【思路分析】

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1. 确定抛物线准线：由抛物线 $y^2=2x$ 可知 $2p=2⟹p=1$，进而得出其准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}$。
2. 设圆心坐标并利用切线条件：设圆心为 $M(x_0,y_0)$，半径为 $R$。
   • 圆与 $x$ 轴相切 $⟹R=|y_0|$；
   • 圆与准线 $x=-\frac{1}{2}$ 相切 $⟹R=\left|x_0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|x_0+\frac{1}{2}\right|$。
3. 联立方程组求解：由于圆心在抛物线上，满足 $y_0^2=2x_0$，结合 $|y_0|=\left|x_0+\frac{1}{2}\right|$ 联立求出 $x_0,y_0$ 和 $R^2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于抛物线 $y^2=2x$，其标准形式为 $y^2=2px$， 由此可得 $2p=2⟹p=1$。 所以该抛物线的准线方程为： $x=-\frac{1}{2}$

设所求圆的圆心坐标为 $M(x_0,y_0)$，半径为 $R$。 因为圆心在抛物线上，所以满足： y_0^2 = 2x_0 \implies x_0 = \frac{y_0^2}{2} \ge 0 \tag{1}

根据圆的相切几何性质：

1. 圆与 $x$ 轴相切，圆心到 $x$ 轴的距离等于半径： R = |y_0| \implies R^2 = y_0^2 \tag{2}
2. 圆与准线 $x=-\frac{1}{2}$ 相切，圆心到准线的距离等于半径： R = \left|x_0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right| = x_0 + \frac{1}{2} \quad (\text{因为 } x_0 \ge 0) \tag{3}

由 (2) 和 (3) 可得： $|y_0|=x_0+\frac{1}{2}$

将 (1) 式 $x_0=\frac{y_0^2}{2}$ 代入上式中： $|y_0|=\frac{y_0^2}{2}+\frac{1}{2}$ 两边同乘以 2 并移项整理： $y_0^2-2|y_0|+1=0⟹(|y_0|-1{)}^2=0$

解得： $|y_0|=1⟹y_0=\pm 1$

将 $|y_0|=1$ 代入各相关量中：

• 半径 $R=|y_0|=1⟹R^2=1$
• 横坐标 $x_0=\frac{y_0^2}{2}=\frac{1}{2}$

取一组圆心坐标（例如 $y_0=1$ 对应的第一象限解），圆心为 $M\left(\frac{1}{2},1\right)$，半径 $R=1$。 写出圆的标准方程： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=1^2$ 展开并化简为一般方程： $x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-2y+1=1$ $x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0$

比对选项，该方程完全对应选项 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的标准方程与几何要素（准线），圆的一般方程与切线几何约束。
2. 核心方法：
   • 坐标解析法：将图形位置关系精准转化为含绝对值号的代数方程组。
   • 特征值检验排除法技巧）：四个选项中，$x$ 与 $y$ 的一次项系数各不相同。将求出的圆心坐标 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 代入一般式公式 $-2x_0=D$， $-2y_0=E$。 可得 $D=-2\times \frac{1}{2}=-1$， $E=-2\times 1=-2$，即包含 $-x-2y$。排除 B 选型。 再将 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 代入 C 和 D 的常数项验证： 对于 D： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-\frac{1}{2}-2(1)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+1-\frac{1}{2}-2+\frac{1}{4}=0$，完美契合，直接。
3. 避坑指南：求准线时容易把 $x=-\frac{p}{2}$ 记错成 $x=-p$，错算为 $x=-1$，进而导致后面联立方程无法得出正确选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何中“圆与抛物线综合”的传统中档题。直接源于教材中“抛物线的简单几何性质”一节中关于准线距离与定义应用的综合训练。
2. 结论推广：若将圆心所在的曲线推广为任意抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)，且要求圆与 $x$ 轴及准线均相切，则圆心的纵坐标总满足 $|y_0|=p$，半径 $R=p$，圆心横坐标 $x_0=\frac{p}{2}$。其标准方程推广通式为 ${\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+(y\pm p{)}^2=p^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1993-上海-15 单-圆锥曲线的定义与轨迹

• 1994-全国卷文-17 填-抛物线的准线与圆

• 1996-上海文-13 填-圆的轨迹方程