1990-上海卷-13 单-定比分点与比例

本题导读

本题考查有向线段的定比分点，以及分点所成的比 $\lambda$ 的定义。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 设点 $P$ 在有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的延长线上，$P$ 分 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，则 ()

A. $\lambda <-1$　　　　　　B. $-1<\lambda <0$　　　　　　C. 0 < \lambda < 1　　　　　　D. $\lambda >1$

🔍【思路分析】

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1. 回顾定比分点的严格定义：若点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，则根据定义有向量等式： $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$
2. 判断向量方向确定正负：分析点 $P$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 的延长线上时的几何位置，画出数轴，观察向量 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 的方向是相同还是相反，从而确定 $\lambda$ 的正负性。
3. 比较线段长度确定数值范围：比较线段 $AP$ 与 $PB$ 的长度大小关系，进而确定 $\lambda$ 的绝对值是大于 1 还是小于 1。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据有向线段定比分点的定义，点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，满足： $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$

因为点 $P$ 在有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的延长线上，我们可以按照 $A\to B\to P$ 的几何顺序进行排布：

• 向量 $\overrightarrow{AP}$ 的方向是由 $A$ 指向 $P$（向右）；
• 向量 $\overrightarrow{PB}$ 的方向是由 $P$ 指向 $B$（向左）。

由于 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 方向相反，所以它们之间的系数 $\lambda$ 必然是一个负数，即： $\lambda <0$

接下来比较这两条有向线段的长度（模长）大小： 从几何位置不难看出，线段 $AP$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度加上线段 $BP$ 的长度，因此： $|\overrightarrow{AP}|>|\overrightarrow{PB}|$

对定义式两边取模长可得： $|\overrightarrow{AP}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{PB}|$ 因为 $|\overrightarrow{AP}|>|\overrightarrow{PB}|$，所以必有： $|\lambda |>1$

综合上述两点条件： $\{\begin{array}{l}\lambda <0\\ |\lambda |>1\end{array}⟹\lambda <-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定比分点公式的几何性质，共线向量的代数比例规律。
2. 核心方法：向量定义法与数形结合。牢记定比分点中“始点到分点”与“分点到终点”的向量对应顺序（即 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$），千万不能把字母顺序记错。
3. 避坑指南：
   • 混淆“延长线”与“反向延长线”：
     • 点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上（顺序为 $A-B-P$），此时 $|\overrightarrow{AP}|>|\overrightarrow{PB}|$，故 $\lambda <-1$，选 (A)；
     • 若点 $P$ 在 $AB$ 的反向延长线上（顺序为 $P-A-B$），此时 $|\overrightarrow{AP}|<|\overrightarrow{PB}|$，则 $-1<\lambda <0$，会误选 (B)。
   • 公式顺序记反：部分考生容易把公式主观记成 $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{BP}$ 或其他魔改形式，从而导致范围错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面向量章节中考查基本概念的经典题型，直接源自老教材中“有向线段的定比分点”这一课后核心基本定理的规律总结。
2. 结论推广：对于点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$（$\lambda \ne -1$），分点所处的几何位置与 $\lambda$ 具有如下、一一对应的特征域：
   • 当 $\lambda >0$ 时， $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 同向，分点 $P$ 在线段 $AB$ 的内部（内分点）；
   • 当 $-1<\lambda <0$ 时，分点 $P$ 在线段 $AB$ 的反向延长线上（外分点，靠近 $A$ 端）；
   • 当 $\lambda <-1$ 时，分点 $P$ 在线段 $AB$ 的正向延长线上（外分点，靠近 $B$ 端）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.11 定比分点公式及定比点差法

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-26 解-异面直线的距离公式
• 1992-上海-23 解-动点轨迹方程
• 1991-上海-26 解-重心轨迹方程的求法