1992-全国卷理-26 解-异面直线的距离公式

本题导读

本题考查异面直线的公垂线与距离、空间向量的线性运算（多边形法则）。核心在于空间向量基底法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 已知：两条异面直线 $a$、 $b$ 所成的角为 $\theta$，它们的公垂线段 $A{A}_1$ 的长度为 $d$（其中 $A\in b$，$A_1\in a$）.在直线 $a$、 $b$ 上分别取点 $E$、 $F$，设 $A_{1}E=m$，$AF=n$.求证： $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos \theta }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量回路拆分：根据向量的加法多边形法则，可以将空间向量 $\overrightarrow{EF}$ 沿着已知的垂直网络路径进行拆分： $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AF}$
2. 两边平方求模：利用恒等式 $|\overrightarrow{EF}{|}^2={\overrightarrow{EF}}^2$，将上述三项式展开，会产生 3 个模的平方项和 3 个两两组合的两倍数量积项。
3. 结合垂直关系消项：由于 $A{A}_1$ 是公垂线段，它既垂直于直线 $a$（包含 $\overrightarrow{E{A}_1}$），又垂直于直线 $b$（包含 $\overrightarrow{AF}$），因此对应的数量积 $\overrightarrow{E{A}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}A}=0$， $\overrightarrow{A_{1}A}\cdot \overrightarrow{AF}=0$。
4. 讨论异面直线夹角定号：异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角为 $\theta$，而向量 $\overrightarrow{E{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{AF}$ 的夹角可能为 $\theta$ 或 $\pi -\theta$（取决于点 $E$ 和 $F$ 相对垂足的分布方向），从而在交叉项中产生 $\pm 2mn\cos \theta$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

根据空间向量的加法多边形法则，可以将空间向量 $\overrightarrow{EF}$ 表示为： $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AF}$

两边同时取模并进行平方运算： $|\overrightarrow{EF}{|}^2=(\overrightarrow{E{A}_1}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AF}{)}^2$

展开该三项式的平方，得： |\overrightarrow{EF}|^2 = |\overrightarrow{EA_1}|^2 + |\overrightarrow{A_1A}|^2 + |\overrightarrow{AF}|^2 + 2\overrightarrow{EA_1} \cdot \overrightarrow{A_1A} + 2\overrightarrow{A_1A} \cdot \overrightarrow{AF} + 2\overrightarrow{EA_1} \cdot \overrightarrow{AF} \tag{1}

根据题目中的已知几何定量与垂直条件，对 (1) 式中的各项进行分析与化简：

1. 已知模长项：

   • $|\overrightarrow{A_{1}A}|=d⟹|\overrightarrow{A_{1}A}{|}^2=d^2$
   • $|\overrightarrow{E{A}_1}|=A_{1}E=m⟹|\overrightarrow{E{A}_1}{|}^2=m^2$
   • $|\overrightarrow{AF}|=AF=n⟹|\overrightarrow{AF}{|}^2=n^2$

2. 公垂线产生的直角消项： 因为 $A{A}_1$ 是异面直线 $a$ 和 $b$ 的公垂线段， 所以 $A{A}_1\perp a$ 且 $A{A}_1\perp b$。 由于向量 $\overrightarrow{E{A}_1}$ 在直线 $a$ 上，向量 $\overrightarrow{AF}$ 在直线 $b$ 上，可得： $\overrightarrow{A_{1}A}\perp \overrightarrow{E{A}_1}⟹\overrightarrow{E{A}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}A}=0$ $\overrightarrow{A_{1}A}\perp \overrightarrow{AF}⟹\overrightarrow{A_{1}A}\cdot \overrightarrow{AF}=0$

3. 方向向量交叉项： 对于最后一项 $2\overrightarrow{E{A}_1}\cdot \overrightarrow{AF}$： 由于 $\overrightarrow{E{A}_1}$ 的长度为 $m$， $\overrightarrow{AF}$ 的长度为 $n$，它们分别在直线 $a$ 和 $b$ 上。 根据向量数量积的定义： $\overrightarrow{E{A}_1}\cdot \overrightarrow{AF}=|\overrightarrow{E{A}_1}|\cdot |\overrightarrow{AF}|\cdot \cos ⟨\overrightarrow{E{A}_1},\overrightarrow{AF}⟩=mn\cos ⟨\overrightarrow{E{A}_1},\overrightarrow{AF}⟩$

   由于点 $E$ 和 $F$ 在公垂线足两边的取法具有任意性，向量 $\overrightarrow{E{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{AF}$ 的方向组合会产生两种可能：

   • 当两向量的方向夹角为 $\theta$ 时： $\cos ⟨\overrightarrow{E{A}_1},\overrightarrow{AF}⟩=\cos \theta$
   • 当两向量的方向夹角为 $\pi -\theta$ 时： $\cos ⟨\overrightarrow{E{A}_1},\overrightarrow{AF}⟩=\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$

   故该交叉项应表示为： $2\overrightarrow{E{A}_1}\cdot \overrightarrow{AF}=\pm 2mn\cos \theta$

将上述项的化简结果整体代回 (1) 式中，可得： $|\overrightarrow{EF}{|}^2=m^2+d^2+n^2+0+0\pm 2mn\cos \theta$ $E{F}^2=d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos \theta$

由于线段长度 $EF>0$，对两边同时开算术平方根，最终得证： $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2\pm 2mn\cos \theta }$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量的回路拆分，公垂线段的数量积消项法则（$\vec{n}\cdot \vec{v}=0$），异面直线夹角与向量夹角的换算约束。
2. 核心方法：空间向量平方展开法。在处理立体几何中“求空间碎折线段围成的距离”时，平方构造数量积是最有优势的工具。
3. 避坑指南：遗漏 $\pm$ 双解讨论。部分考生会想当然地根据自己画的草图，直接认定两个向量的夹角就是 $\theta$，从而只写出了单边结果。必须要明确指出异面直线的角取值范围是 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2}]$，而向量方向是有方向性的，两向量夹角可能互补，故必须带上 $\pm$ 符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广：
   • 当 $\theta =90^{\circ }$ 时（即两条异面直线互相垂直）， $\cos 90^{\circ }=0$，公式退化为空间勾股定理： $EF=\sqrt{d^2+m^2+n^2}$。
   • 当 $d=0$ 时（即两条直线在同一平面内相交），公式直接退化为平面几何中的余弦定理变体： $EF=\sqrt{m^2+n^2\pm 2mn\cos \theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-27 解-直三棱柱的线线平行与点到直线的距离

• 1993-上海-24 解-二面角与线面角的综合

• 1995-全国卷文-13 单-空间线面位置关系的命题判定