1986-全国文-19 解-相关点法求轨迹

本题导读

本题考查相关点法求轨迹方程。核心在于用定比分点公式把动点 $P$ 用 $B$ 表示，代入 $B$ 满足的抛物线方程。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 已知抛物线 $y^2=x+1$，定点 $A(3,1)$，$B$ 为抛物线上任意一点，点 $P$ 在线段 $AB$ 上，且有 $BP:PA=1:2$，当点 $B$ 在抛物线上变动时，求点 $P$ 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

$P=\frac{2B+A}{3}$，设 $B(t^2-1,t)$，消参 $t$。

✅【答案】

Success

$3y^2-2y-2x+1=0$（即 $3{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2=2\left(x-\frac{1}{3}\right)$），轨迹是顶点 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、开口向右的抛物线

✍【详细解析】

Abstract

设 $B(t^2-1,t)$（$t\in \mathbf{R}$）。由 $BP:PA=1:2$，$P$ 内分 $BA$ 为 $1:2$，故 $P=\frac{2B+A}{3}=\left(\frac{2t^2+1}{3},\frac{2t+1}{3}\right)$。由 $y=\frac{2t+1}{3}$ 得 $t=\frac{3y-1}{2}$；代入 $x=\frac{2t^2+1}{3}$：$6x=2(3y-1{)}^2+4$？逐步算：$2t^2=2\cdot \frac{(3y-1{)}^2}{4}=\frac{(3y-1{)}^2}{2}$，故 $x=\frac{\frac{(3y-1{)}^2}{2}+1}{3}=\frac{(3y-1{)}^2+2}{6}$，即 $(3y-1{)}^2=6x-2$，展开 $9y^2-6y+1=6x-2$，整理得 $3y^2-2y-2x+1=0$，即 $3{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2=2\left(x-\frac{1}{3}\right)$。轨迹是顶点 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、开口向右的抛物线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相关点法求轨迹

核心方法：$BP:PA=1:2$，$P=\frac{2B+A}{3}$，代入 $B(t^2-1,t)$。

避坑指南：$x=\frac{2t^2+1}{3}$，$y=\frac{2t+1}{3}$，消参得 $3y^2-2y-2x+1=0$，即 $3(y-\frac{1}{3}{)}^2=2(x-\frac{1}{3})$，顶点 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ 开口向右的抛物线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相关点法（代入法）。

结论推广：用目标点表示动点再代入。

方法推广：消参定曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-13 单-动点轨迹方程
• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1989-上海-28 解-动点轨迹与最值