1982-全国文-07 解-定点定比的轨迹方程

本题导读

本题考查到两定点距离之比为定值的轨迹。核心在于距离公式列方程并配方。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 已知定点 $A$，$B$ 且 $AB=2a$，如果动点 $P$ 到点 $A$ 的距离和到点 $B$ 的距离之比为 $2:1$，求点 $P$ 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

取 $AB$ 中点为原点，$A(-a,0)$、$B(a,0)$，由 $PA=2PB$ 列方程。

✅【答案】

Success

$3x^2-10ax+3y^2+3a^2=0$，表示圆

✍【详细解析】

Abstract

取 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，从 $A$ 到 $B$ 为正方向，以 $AB$ 中点 $O$ 为原点建立直角坐标系，则 $A(-a,0)$，$B(a,0)$。设 $P(x,y)$。由 $PA:PB=2:1$ 得 $P{A}^2=4P{B}^2$，即 $(x+a{)}^2+y^2=4[(x-a{)}^2+y^2]$。展开：$x^2+2ax+a^2+y^2=4x^2-8ax+4a^2+4y^2$，整理得 $3x^2-10ax+3y^2+3a^2=0$。配方得 ${\left(x-\frac{5a}{3}\right)}^2+y^2=\frac{16a^2}{9}$，表示以 $\left(\frac{5a}{3},0\right)$ 为圆心、半径为 $\frac{4a}{3}$ 的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定点定比的轨迹方程

核心方法：距离比列方程

避坑指南：由 $PA=2PB$ 得 $P{A}^2=4P{B}^2$，代入两点距离公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动点轨迹方程

结论推广：到两定点距离之比为定值的轨迹是圆

方法推广：距离公式列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-13 解-动圆圆心的轨迹方程
• 1986-全国文-19 解-相关点法求轨迹