本题导读
本题考查圆与圆的位置关系（外切条件），以及双曲线的定义与几何性质。
📌【题干】
Question
（1993年新高考(理)） 一动圆与两圆 和 都外切，则动圆圆心的轨迹为 ()
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一步： 将已知的两个定圆方程化为标准方程，确定它们的圆心坐标（作为定点）和半径大小。设动圆的圆心为 ，半径为 。
- 第二步： 根据两圆外切的充要条件“圆心距等于两圆半径之和”，用含 的代数式分别表示出动圆圆心到两个定圆圆心的距离。通过两式相减消去变量 ，得到两距离之差为常数的等式，再对照双曲线的定义进行判断。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解： 设已知第一个定圆为圆 ：，则圆心为 ，半径 。 将第二个定圆方程配方化为标准方程： 设此圆为圆 ，则其圆心为 ，半径 。
设动圆的圆心为 ，半径为 。 因为动圆与圆 、圆 均外切，根据两圆外切的几何性质可知： 两式相减消去 得： 即动点 到两定点 的距离之差为一个固定的正常数。
分析两定点间的距离（焦距）： 因为 ， 且由于 ，说明动点 到 的距离更近。 根据双曲线的第一定义，满足 的动点轨迹为双曲线中靠近 点的其中一支。 因此，动圆圆心 的轨迹是以 为焦点的双曲线靠近左焦点 的左支。
故正确答案为：C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点： 两圆外切时圆心距 ；双曲线的第一定义：。
- 核心方法： 定义法求轨迹。不需要设出坐标去进行复杂的繁琐运算，通过将几何特征直接翻译为距离的数量关系，直接与圆锥曲线的定义做匹配，是解决此类轨迹选择题最直接、最快速的方法。
- 避坑指南： - 最易错点是混淆“双曲线”与“双曲线的一支”。若本题条件改为“与一圆外切，与另一圆内切”，则消参后得到的是绝对值式 ，此时轨迹才是完整的双曲线；而本题均为外切，没有绝对值符号，只能是双曲线的一支。
- 必须校验常数 与焦距 的大小关系。只有满足 轨迹才存在且为双曲线；若 ，轨迹为一条射线；若 ，轨迹不存在。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题属于经典的“两圆一动圆”轨迹模型，是由教材中双曲线定义的引入实例（两定圆外切/内切问题）直接改编而来的标准高考试题。
- 结论推广（动圆与两定圆切点轨迹通用模型）： 设两定圆半径分别为 （且 ），焦距为 ，动圆半径为 ：
- 若动圆与两定圆都外切，则距离差为 ，轨迹为双曲线的一支（靠近较小定圆的那一支）。
- 若动圆与两定圆都内切，则距离差为 ，轨迹为双曲线的一支（靠近较大定圆的那一支）。
- 若动圆与一圆外切，与另一圆内切，则距离和为 ：
- 当 时，轨迹为椭圆；
- 当 时，轨迹为双曲线。
🔗【关联脉络】
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