1979-全国理-10 解-建系求轨迹

本题导读

本题为附加题，考查等腰三角形内动点满足距离关系时的轨迹，以及轨迹上满足附加条件的点坐标。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 10. 设等腰 $△OAB$ 的顶角为 $2\theta$，高为 $h$.

(1) $△OAB$ 内有一动点 $P$，到三边 $OA,OB,AB$ 的距离分别为 $|PD|,|PF|,|PE|$，并且满足关系 $|PD|\cdot |PF|=|PE{|}^2$. 求 $P$ 点的轨迹；

(2) 在上述轨迹中定出点 $P$ 的坐标，使得 $|PD|+|PE|=|PF|$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 以 $O$ 为原点、高为 $x$ 轴建系，用距离公式代入关系配方得圆，轨迹取圆在三角形内的部分。(2) 由 $|PD|+|PE|=|PF|$ 得 $h-x=2y\cos \theta$，与轨迹方程联立解出 $x,y$。

✅【答案】

Success

(1) 轨迹为圆 ${\left(x-\frac{h}{{\cos }^2\theta }\right)}^2+y^2={\left(\frac{h\sin \theta }{{\cos }^2\theta }\right)}^2$ 在 $△OAB$ 内的部分 (2) $P\left(\frac{\sqrt{5}h}{\sqrt{5}+2\sin \theta },\frac{h\tan \theta }{\sqrt{5}+2\sin \theta }\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $O$ 为原点，以三角形的高为 $x$ 轴，以垂直于高的方向为 $y$ 轴，并取 $A$ 在 $x$ 轴上方。由于 $0<\theta <90^{\circ }$，于是 $A=(h,h\tan \theta ),B=(h,-h\tan \theta )$。设 $P=(x,y)$。因为 $P$ 在三角形内部，所以 $0<x<h$，且 $-x\tan \theta <y<x\tan \theta$。直线 $OA$ 和 $OB$ 的方程分别为 $y=x\tan \theta$ 和 $y=-x\tan \theta$，故点 $P$ 到三边的距离分别为 $|PD|=x\sin \theta -y\cos \theta$，$|PF|=x\sin \theta +y\cos \theta$，$|PE|=h-x$。代入已知关系，得到 $x^2{\sin }^2\theta -y^2{\cos }^2\theta =(h-x{)}^2$。 整理得 ${\cos }^2\theta (x^2+y^2)-2hx+h^2=0$。 配方可得 ${\left(x-\frac{h}{{\cos }^2\theta }\right)}^2+y^2={\left(\frac{h\sin \theta }{{\cos }^2\theta }\right)}^2$。 因此，点 $P$ 的轨迹是上述圆在 $△OAB$ 内的部分。 (2) 由 $|PD|+|PE|=|PF|$，得 $x\sin \theta -y\cos \theta +h-x=x\sin \theta +y\cos \theta$， 即 $h-x=2y\cos \theta$。 将 $y\cos \theta =\frac{h-x}{2}$ 代入轨迹方程的等价形式，得 $x^2{\sin }^2\theta -\frac{(h-x{)}^2}{4}=(h-x{)}^2$。 由于 $0<x<h$，所以 $2x\sin \theta =\sqrt{5}(h-x)$。 从而 $x=\frac{\sqrt{5}h}{\sqrt{5}+2\sin \theta }$，且 $y=\frac{h\tan \theta }{\sqrt{5}+2\sin \theta }$。所以所求点的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{5}h}{\sqrt{5}+2\sin \theta },\frac{h\tan \theta }{\sqrt{5}+2\sin \theta }\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：建系求轨迹

核心方法：以 $O$ 为原点、高为 $x$ 轴建系，代入距离关系配方得圆

避坑指南：轨迹只取该圆在原三角形内的部分；第二问联立距离条件求坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程

结论推广：动点满足的几何关系可代数化为曲线

方法推广：合理建系 + 距离公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-13 解-动圆圆心的轨迹方程
• 1982-全国文-07 解-定点定比的轨迹方程