1979-全国文-08 解-割线中点轨迹

本题导读

本题考查割线中点轨迹。核心在于用参数表示中点坐标再消参。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 过原点 $O$ 作圆 $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ 的任意割线交圆于 $P_1$、$P_2$ 两点，求 $P_1{P}_2$ 的中点 $P$ 的轨迹

🔍【思路分析】

破题导航

设割线方向角 $\phi$，用参数表示直线上点，中点坐标用参数表示再消参。

✅【答案】

Success

圆 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{4}$ 在已知圆内的一段弧

✍【详细解析】

Abstract

设割线 $O{P}_1{P}_2$ 的方向角为 $\phi$，用参数 $t$ 表示该直线上的点：$x=t\cos \phi$，$y=t\sin \phi$。代入圆方程得 $t^2-2t(\cos \phi +2\sin \phi )+4=0$。设两根为 $t_1$、$t_2$（对应 $P_1$、$P_2$），由根与系数的关系 $t_1+t_2=2(\cos \phi +2\sin \phi )$。中点 $P$ 的坐标 $x=\frac{t_1+t_2}{2}\cos \phi$，$y=\frac{t_1+t_2}{2}\sin \phi$，即 $x=(\cos \phi +2\sin \phi )\cos \phi$，$y=(\cos \phi +2\sin \phi )\sin \phi$。两式相加（利用 ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$）得 $x^2+y^2=(\cos \phi +2\sin \phi {)}^2=x+2y$。配方得 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{4}$。已知圆圆心为 $M(1,2)$、半径为 $1$，$P_1$、$P_2$ 为两不同交点要求判别式 $(\cos \phi +2\sin \phi {)}^2>4$，即 $OP=\cos \phi +2\sin \phi >2$（取方向向圆一侧），又 $\cos \phi +2\sin \phi \le \sqrt{5}$，故 $2<OP\le \sqrt{5}$，对应 $MP<1$。所以所求轨迹是圆 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{5}{4}$ 在所给圆内的一段弧，两端切线对应端点不计。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：割线中点轨迹

核心方法：参数化消参

避坑指南：直线方向角设参，中点坐标用参数表示再消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动点轨迹

结论推广：中点轨迹是圆的一段弧

方法推广：割线中点轨迹常为圆或椭圆弧

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-13 解-动圆圆心的轨迹方程
• 1986-全国文-19 解-相关点法求轨迹