1994-全国卷文-08 单-双曲线焦点三角形面积

本题导读

本题考查双曲线焦点三角形的面积，以及焦点三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(文)） 设 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在双曲线上且满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，则 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积是 ()

A.$1$　　B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$　　C.$2$　　D.$\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线求 $a,b,c$。
2. 用焦点三角形面积公式 $S=b^2\cot \frac{\theta }{2}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 中 $a=2$、$b=1$。焦点三角形面积 $S=b^2\cot \frac{\angle F_{1}P{F}_2}{2}=1\times \cot 45^{\circ }=1$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点三角形面积

核心方法：双曲线 $a=2$，$b=1$，$c=\sqrt{5}$。由 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，$△F_{1}P{F}_2$ 面积 $=b^2\cot \frac{\theta }{2}=1\times \cot 45^{\circ }=1$，选 A

避坑指南：焦点三角形面积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的焦点三角形

结论推广：一般地，焦点三角形面积 $b^2\cot \frac{\theta }{2}$

方法推广：焦点三角形面积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-14 单-双曲线的离心率
• 1995-全国卷文-06 单-双曲线的渐近线方程
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系