1988-广东理-08 单-含参曲线类型的判断

本题导读

本题考查由参数范围判断方程所表示的曲线类型。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 设 $\theta$ 是第四象限的角，那么方程 $(\sin \theta )x^2+y^2=\sin 2\theta$ 所表示的曲线是()

A. 焦点在 $x$ 轴上的椭圆　　　　　　　　　　B. 焦点在 $y$ 轴上的椭圆 C. 焦点在 $x$ 轴上的双曲线　　　　　　　　D. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

$\theta$ 第四象限，$\sin \theta <0$，$\sin 2\theta <0$，$x^2$ 系数为负、$y^2$ 系数为正。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$\theta$ 是第四象限角，$\sin \theta <0$，$2\theta$ 在第三或第四象限，$\sin 2\theta <0$。方程化为 $\frac{\sin \theta }{\sin 2\theta }{x}^2+\frac{1}{\sin 2\theta }{y}^2=1$，即 $\frac{x^2}{2\cos \theta }+\frac{y^2}{\sin 2\theta }=1$。因 $\cos \theta >0$ 而 $\sin 2\theta <0$，故 $x^2$ 项系数为正、$y^2$ 项系数为负，是焦点在 $x$ 轴上的双曲线。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参曲线类型的判断

核心方法：$\sin \theta <0$，$y^2$ 系数为正而 $x^2$ 系数为负，得焦点在 $x$ 轴的双曲线。

避坑指南：第四象限 $\sin \theta <0$，$\sin 2\theta <0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参曲线类型。

结论推广：系数符号。

方法推广：$\sin \theta <0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-10 单-双曲线的焦点与定义
• 1990-广东理-26 填-双曲线的准线方程
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系