1994-全国卷理-08 单-双曲线焦点三角形的面积

本题导读

本题考查双曲线的定义与标准方程，以及焦点三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 设 $F_1$ 和 $F_2$ 为双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在双曲线线上且满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，则 $△F_{1}P{F}_2$ 的面积是 ()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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提取基本量：由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 得到 $a^2=4,b^2=1$，进而根据 $c^2=a^2+b^2$ 算出 $c^2$。 列出方程组：设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。

• 根据双曲线定义，有 $|m-n|=2a$；
• 根据 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，由勾股定理有 $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4c^2$。 整体代换求面积：利用完全平方公式 $(m-n{)}^2=m^2+n^2-2mn$ 整体求出 $mn$ 的值。由于 $△F_{1}P{F}_2$ 是直角三角形，其面积 $S=\frac{1}{2}mn$，即可得出答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数变形法 由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 可知： $a^2=4⟹a=2$ $b^2=1$ 所以 $c^2=a^2+b^2=4+1=5$。

设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。 根据双曲线的定义，得： $|m-n|=2a=4$ 两边平方，得： $m^2+n^2-2mn=16\text{(1)}$

因为 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，所以在直角 $△F_{1}P{F}_2$ 中，由勾股定理得： $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4c^2=4\times 5=20\text{(2)}$

将 ② 代入 ①，得： $20-2mn=16⟹2mn=4⟹mn=2$

因为 $△F_{1}P{F}_2$ 是直角三角形，所以其面积为： $S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}\times 2=1$

解法二：焦点三角形面积公式法 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，以焦点 $F_1,F_2$ 和曲线上一点 $P$ 为顶点的 $△F_{1}P{F}_2$ 称为焦点三角形。若 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则该三角形的面积公式为： $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$

本题中 $b^2=1,\theta =90^{\circ }$，直接代入公式得： $S=\frac{1}{\tan 45^{\circ }}=\frac{1}{1}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的特征性质 $c^2=a^2+b^2$、双曲线的定义以及直角三角形面积。 核心方法：解焦点三角形问题时，“定义式（$|m-n|=2a$）与几何定理（勾股定理或余弦定理）联立”是标准规范流程。利用 $(m-n{)}^2=m^2+n^2-2mn$ 进行整体求值可以省去解出 $m,n$ 细节的麻烦。 避坑指南：注意双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$，基础公式切勿记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查了解析几何中经典的“焦点三角形”基本度量性质，属于课本圆锥曲线综合练习的常规推导题。 结论推广：

• 对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点三角形面积公式为 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$。
• 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点三角形面积公式为 $S=b^2\cdot \tan \frac{\theta }{2}$。 这两个公式在处理解析几何选择、填空题时，属于高效的秒杀工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-14 单-双曲线的离心率
• 1995-全国卷文-06 单-双曲线的渐近线方程
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系