1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质

本题导读

本题考查双曲线的焦点、离心率、渐近线及焦半径与角的关系。核心在于利用 $|P{F}_1-P{F}_2|=2a$。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 已知双曲线的方程是 $16x^2-9y^2=144$.

(1)求这双曲线的焦点坐标，离心率和渐近线方程；

(2)设 $F_1$ 和 $F_2$ 是这双曲线的左、右焦点，点 $P$ 在这双曲线上，且 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=32$，求 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）化为标准方程求 $a,b,c$；（2）由 $|d_1-d_2|=2a$ 与 $d_1{d}_2=32$ 求 $d_1^2+d_2^2$。

✅【答案】

Success

(1)$F_1(-5,0),F_2(5,0)$，$e=\frac{5}{3}$，$y=\pm \frac{4}{3}x$；(2)$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）化为标准方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，则 $a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{a^2+b^2}=5$。焦点 $F_1(-5,0)$、$F_2(5,0)$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{4}{3}x$。 （2）设 $|P{F}_1|=d_1$，$|P{F}_2|=d_2$，由题设 $d_1{d}_2=32$，由双曲线定义 $|d_1-d_2|=2a=6$。故 $d_1^2+d_2^2=(d_1-d_2{)}^2+2d_1{d}_2=36+64=100$。又 $|F_1{F}_2|=2c=10$，故 $|F_1{F}_2{|}^2=100=d_1^2+d_2^2$。由勾股定理逆定理，$△P{F}_1{F}_2$ 是以 $F_1{F}_2$ 为斜边的直角三角形，故 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的几何性质

核心方法：化为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，$c=5$，$e=\frac{5}{3}$；由 $|d_1-d_2|=6$、$d_1{d}_2=32$ 得 $d_1^2+d_2^2=100=|F_1{F}_2{|}^2$，故 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。

避坑指南：利用 $|P{F}_1-P{F}_2|=2a$ 与勾股定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线几何性质。

结论推广：$|d_1-d_2|=2a$。

方法推广：勾股。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-26 填-双曲线的准线方程
• 1989-广东理-10 单-双曲线的焦点与定义
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系