2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于由 S_n 递推求通项。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知正项数列 $\{a_n\}$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $10S_n=a_n^2+5a_n+6$，且 $a_1,a_3,a_{15}$ 成等比数列，求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $n=1$，$S_1=a_1$，得 $10a_1=a_1^2+5a_1+6$，即 $a_1^2-5a_1+6=0$，$a_1=2$ 或 $3$。
2. $n⩾2$ 时，条件对 $n$、$n-1$ 分别用并相减，得 $10a_n=(a_n-a_{n-1})(a_n+a_{n-1}+5)$。
3. 即 $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-5)=0$，因各项为正，$a_n-a_{n-1}=5$，等差数列。
4. $a_n=a_1+5(n-1)$。检验等比条件定 $a_1$。

✅【答案】

Success

$a_n=5n-3$

✍【详细解析】

Abstract

取 $n=1$，由 $S_1=a_1$ 得 $10a_1=a_1^2+5a_1+6$，即 $a_1^2-5a_1+6=0$，所以 $a_1=2$ 或 $a_1=3$． 当 $n⩾2$ 时，将条件分别对 $n$ 和 $n-1$ 使用并相减，得 $10a_n=a_n^2+5a_n+6-a_{n-1}^2-5a_{n-1}-6,$ 即 $10a_n=(a_n-a_{n-1})(a_n+a_{n-1}+5)$，整理得 $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-5)=0.$ 由于数列各项为正，$a_n+a_{n-1}>0$，所以 $a_n-a_{n-1}=5$，从而 $a_n=a_1+5(n-1)$． 若 $a_1=2$，则 $a_3=12$、$a_{15}=72$，且 $a_3^2=144=a_1{a}_{15}$，满足等比条件； 若 $a_1=3$，则 $a_3=13$、$a_{15}=73$，但 $a_3^2=169\ne 219=a_1{a}_{15}$，不满足等比条件． 因此 $a_1=2$，数列的通项为 $a_n=2+5(n-1)=5n-3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn递推求通项

核心方法：$10S_n=a_n^2+5a_n+6$ 取 $n=1$ 得 $a_1=2$ 或 $3$；相减得 $a_n-a_{n-1}=5$，等差数列；由等比条件定 $a_1=2$，$a_n=5n-3$

避坑指南：$a_1=3$ 时 $a_3=13,a_{15}=73$ 不满足 $a_3^2=a_1{a}_{15}$，须舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: $S_n$ 与 $a_n$ 的递推

结论推广: $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$）

方法推广: 相减得递推，结合等比条件定首项

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-17 解-Sn与通项及等差中项
• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-新课标Ⅰ文-17 解-等差数列裂项求和